Давление жидкости на плоскую стенку
Рассматривая задачи определения равнодействующей гидростатического давления на плоскую стенку необходимо добиться уяснения студентами следующих положений:
- равнодействующая гидростатического давления – равнодействующая распределенной системы параллельных сил, направленных в одну сторону;
- равнодействующая, как величина векторная характеризуется направлением, модулем и точкой приложения;
- в любом случае для определения модуля равнодействующей необходимо знать площадь плоской стенки 
и гидростатическое давление в точке, совпадающей с геометрическим центром 
площади;
- точка стенки 
, через которую проходит линия действия равнодействующей гидростатического давления называется центром давления; геометрический центр стенки не, как правило не совпадает с центром давления .
3.1. Сила давления жидкости на плоскую стенку
Рассмотрим жидкость, покоящуюся в резервуаре с плоскими стенками, на свободную поверхность которой действует давление 
(рис.3.1). На правой боковой стенке выделим площадь 
, равнодействующую сил давления на которой и определим.
Система декартовых прямоугольных координат имеет оси y,z в плоскости правой стенки; ось x перпендикулярна им. Часть стенки площадью А показана в проекции на плоскость yz. Начало координат находится на линии уреза воды.
| | На площадке dA давление  не изменяется и определяется величиной глубины погружения 
Равнодействующая сил давления на площади А стенки определяется интегралом
|
.
.
После интегрирования приходим к формуле
| (3.3) |
Очевидно, что 
, тогда из (3.3) следует
 ,
| (3.4) |
Где 
- это статический момент рассматриваемой площади стенки относительно оси 
. Это обстоятельство позволяет записать формулу (3.4) в следующем виде
 ,
| (3.5) |
где
· 
глубина погружения центра площади А;
· 
абсолютное давление в точке, совпадающей с центром площади А.
Однако, точка приложения равнодействующей сил давления F – центр давления D, не совпадает с центром площади А ,– точкой 
.
Координата 
центра давления D определяется по формуле
| (3.6) |
Если пренебречь величиной давления на свободной поверхности и считать 
, то
 . 
| (3.7) |
Если пьезометрическая составляющая давления существенно ниже давления 
, то
 .
| (3.8) |
В гидравлических расчетах при 
10 можно с высокой точностью считать, что центр давления (точка D) совпадает с центром площади А – точкой С.
В том случае, когда ось 
не является осью симметрии, необходимо искать и вторую координату центра давления 
Примеры решения частных задач приведены в таблице 3.1
Табл.3.1
| № п/п | Схема |
| | |
| | |
| | |
| |
Примеры решения задач
Пример 3.1
Подпорная прямоугольная вертикальная стенка шириной b = 200 м сдерживает напор воды высотой Н =10 м
Определить силу полного давления на стенку Р и опрокидывающий момент M . Построить эпюру давлений.
| |
Рис. 3.1
Решение
Сила полного давления на стенку определяется по формуле
 ,
| (3.9) |
где zc глубина погружения центра тяжести стенки;
площадь стенки.
Для заданных условий задачи
 кН.
| (3.10) |
Для определения опрокидывающего момента необходимо знать координату точки приложения силы полного давления, которую можно определить по формуле (3.7)
| (3.11) |
где 
момент инерции площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей в плоскости свободной поверхности жидкости.
Для прямоугольного сечения
  .
| (3.11) |
Следовательно
 .
| (3.12) |
Опрокидывающий момент, момент относительно горизонтального ребра, проходящего через точку 
, равен
| (3.13) |
Избыточное гидростатическое давление в точке А
 ,
| (3.14) |
а в точке 
Для построения эпюры избыточного гидростатического давления необходимо в точке А нормально подпорной стенке отложить в масштабе значение 
, а в точке 
принять нулевое значение.
Соединив прямой линией точку В с концом вектора , получим эпюру распределения избыточного гидростатического давления по высоте подпорной стенки.
Эпюру абсолютного давления можно построить аналогично, если увеличить избыточные давления в точках А и В на величину 
.
Пример 3.2
Определить силу P полного давления на торцевую, плоскую стенку горизонтальной цилиндрической цистерны диаметром 
и точку ее приложения D, если уровень бензина, плотность которого 
,находится на расстоянии Н = 2,4 м от дна цистерны. Цистерна герметически закрыта, избыточное давление паров бензина на свободную поверхность составляет 
.
| |
Рис. 3.2
Решение
Сила полного давления P на плоскую торцевую стенку цилиндрической цистерны складывается из силы, создаваемой давлением столба бензина высотой
| (3.15) |
и силы, создаваемой избыточным давлением паров бензина 
, соответствующего hб
| (3.16) |
Так как 
(см. рис. 3.1), получаем
| (3.17) |
Для плоской стенки расстояние точки приложения силы полного давления от свободной поверхности жидкости равно
 ,
| (3.18) |
где 
момент инерции площади смоченной поверхности стенки относительно горизонтальной оси 
, проходящей по краю свободной поверхности жидкости.
Т.к. плоская стенка имеет форму круга
| (3.19) |
После подстановки численных значений в формулу ( ) находим
 ,
| (3.20) |
Пример 3.3
Трубопровод диаметром d = 0,7 м перекрыт круглым дроссельным затвором, вращающимся на горизонтальной оси. Слева от затвора трубопровод заполнен водой под манометрическим давлением 
. Момент какой величины нужно приложить к оси затвора, чтобы он не открывался под действием давления воды?
| |
Рис.3.3
Решение
Манометрическое давление распределяется по площади затвора равномерно. Его результирующая проходит через ось затвора и, следовательно, момента не дает.
Момент создает сила давления находящейся в трубопроводе воды, приложенная в центре давления затвора на глубине 
.
Сила давления воды на затвор определяется по формуле
| (3.21) |
Координата центра давления 
определяется по формуле (3.7)
| (3.22) |
К оси затвора необходимо приложить момент, равный произведению силы Р на расстояние 
между центром давления и центром тяжести затвора, расположенным на оси трубы
| (3.23) |
Пример 3.4
В резервуар налит керосин с плотностью 
. Требуется определить диаметры d болтов, прикрепляющих крышку лаза, и найти положение центра давления на крышку, если уровень керосина в резервуаре находится на расстоянии H = 8 м от дна, число болтов п =12 , диаметр лаза d = 0,75 м и расстояние от его центра тяжести до дна h = 1 м . Допускаемое напряжение на разрыв для болтов 
.
| |
Рис. 3.4
Решение
Свободная поверхность жидкости в резервуаре находится под воздействием атмосферного давления. Действие атмосферного давления передается на внутреннюю поверхность крышки лаза, но оно же действует и на наружную поверхность крышки. Следовательно, расчет на прочность болтов, прикрепляющих крышку к фланцу лаза, должен выполняться только с учетом давления, создаваемого давлением столба жидкости.
Давление на крышку меняется по линейному закону от величины 
до максимального значения 
. График изменения 
представлен на рис. 3.4.
Определяем равнодействующую гидростатического давления на крышку лаза
 .
| (3.24) |
Сила 
приложена в точке 
крышки, координата которой определяется по формуле (3.7)
 .
| (3.25) |
Смещение линии действия силы 
относительно оси крышки невелико, всего 5 мм, поэтому будем рассчитывать болты, считая, что нагрузка между болтами распределяется равномерно. Диаметр тела болта найдем из условия прочности при растяжении
| (3.26) |
Для крепления крышки необходимо выбрать болт стандартного диаметра 
.
Пример 3.5
Построить эпюру гидростатического давления на ломаную стенку заполненного водой резервуара.
Определить силы полных давлений и точки их приложения на участке ломаной стенки АВС длиной L = 1м, 
, 
.
| |
Рис. 3.5
Решение
Для построения эпюры избыточного гидростатического давления необходимо рассчитать величину значения давлений в точках 
. Величина избыточного гидростатического давления определяется глубиной погружения точки от свободной поверхности
| (3.27) |
Вектор давления проводим перпендикулярно поверхности стенки на каждом участке. Ординаты откладываем в масштабе (рис. 3.5).
Для определения результирующей гидростатического давления на каждом участке стенки необходимо найти давление в центре этого участка стенки:
На участке 
| (28) |
На участке 
| (3.29) |
При определении координат 
, точек приложения равнодействующих сил гидростатического давления на поверхностях 
и 
необходимо учесть, что в формуле (3.6) для поверхности 
, а для поверхности 
. Для поверхности 
, а для поверхности 
. Тогда имеем
для поверхности 
| (3.30) |
для поверхности 
(3.5 б))
| (3.31) |
где:
Тогда
 .
| (3.32) |
Центр давления поверхности 
располагается от свободной поверхности жидкости на глубине
 .
| (3.33) |
Центр давления поверхности располагается ниже ее центра тяжести по вертикали на расстояние 
.
Пример 3.6
Щит, перекрывающий канал, расположен под углом 
к горизонту и закреплен шарнирно к опоре над водой (рис.3.6).
Определить усилие T, которое необходимо приложить к тросу для подъема щита, если ширина щита b = 2 м, глубина воды перед щитом h1 = 2,5 м, а после щита h2 =1,5м. Шарнир расположен над высоким уровнем воды на расстоянии h3 = 1м. Весом щита и трением в шарнирах можно пренебречь.
| |
Рис. 3.6
Решение
Для определения минимального значения силы 
, необходимой для поворота щита, необходимо рассмотреть равновесие щита 
под действием приложенных к нему сил 
, (см. рис. 3.6). Весом щита и силами трения пренебрегаем.
Сила полного давления воды на щит с левой стороны
| (3.34) |
Сила полного давления воды на щит с правой стороны определяется аналогично
| (3.35) |
Определим расстояния от шарнира 
до центров приложения сил давления (точки 
). Расчет проводим, учитывая только гидростатическое давление. Используем формулу (3.7).
| (3.36) |
Расстояние от точки приложения силы P2 до шарнира определяется аналогично
| (3.37) |
 ,
|
Чтобы определить усилие Т, необходимое для подъема щита, составим уравнение моментов всех сил относительно шарнира 
| (3.38) |