Давление жидкости на криволинейную стенку
Составляющие равнодействующей гидростатического давления на произвольную криволинейную стенку в общем случае определяются согласно следующим правилам
![]() ![]() ![]() |
где : – плотность жидкости;
– заглубление центра проекции поверхности на плоскости перпендикулярные осям
;
– площади проекций стенки на плоскости перпендикулярные осям
;
-- объем тела давления (объем жидкости, расположенной над поверхностью в направлении оси
).
|
4.1. Сила давления жидкости на криволинейную цилиндрическую стенку
Задача определения равнодействующей сил гидростатического давления на цилиндрическую стенку имеет практическое значение, так как в гидротехнических сооружениях часто используют конструкции с такой поверхностью соприкосновения (водонапорные баки, вальцовые, секторные и сегментные затворы).
Для цилиндрической стенки, находящейся под односторонним воздействием покоящейся жидкости равнодействующую сил избыточного давления можно определить, зная ее составляющие по координатным осям (рис.4.1).
Очевидно, что
![]() | (4.1) |
где
![]() ![]() | (4.2) |
Если формулу (4.2) для составляющей переписать иначе
![]() | (4.3) |
где - давление в центре проекции стенки на плоскость
;
- площадь проекции стенки на плоскость
,
а формулу для составляющей преобразовать к виду
![]() | (4.4) |
где - объем жидкости, расположенный над поверхностью стенки, то можно сформулировать следующие правила:
· горизонтальная составляющая равнодействующей гидростатического давления, действующего на цилиндрическую стенку, может быть определена, как равнодействующая давления на вертикальную проекцию этой стенки на плоскость
;
· вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления равна весу жидкости в объеме, ограниченном свободной поверхностью, цилиндрической поверхностью, воспринимающей давление, и торцевыми поверхностями
(рис.4.2).
|
Рис. 4.1
Линию действия равнодействующей сил избыточного давления можно найти, если установить линии действия составляющих
. Положение этих линий определяется координатами
соответственно (рис. 4.1в).
|
Рис. 4.2
Для рассматриваемого случая расчетные формулы представлены ниже:
![]() | (4.5) |
![]() | (4.6) |
Примеры решения задач
Пример 4.1
Определить силу полного давления на секторный затвор и ее направление. Глубина воды перед затвором H = 4 м , длина затвора L = 8 м , .
|
Рис. 4.4
Решение
Горизонтальная составляющая силы давления воды на секторный затвор ac равна силе давления воды на проекцию этого затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению
![]() | (4.7) |
гидростатическое давление воды в центре тяжести
проекции секторного затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению
;
глубина погружения центра тяжести проекции секторного
Тогда
![]() | (4.8) |
Вертикальная составляющая силы давления воды на секторный затвор равна
весу воды в объеме фигуры длиной с торцевыми поверхностями abc
![]() | (4.9) |
где площадь фигуры abc.
Площадь фигуры abc
![]() |
здесь радиус затвора.
Значение вертикальной составляющей силы давления
![]() | (4.10) |
Сила полного давления равна равнодействующей сил давления
![]() | (4.11) |
Направление равнодействующей определяется углом
![]() | (4.12) |
Пример 4.2
Определить силу давления воды на один метр ширины затвора ( ), перекрывающего канал между двумя смежными камерами, если глубина воды в левой камере
, а в правой камере
; R = 4 м, а = 2 м,
|
Рис.4.5
Решение
Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h1 направлена слева направо и равна
![]() | (4.13) |
Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h2 определяется аналогично и имеет противоположное направление
![]() | (4.14) |
Равнодействующая горизонтальных сил
![]() | (4.15) |
Вертикальная составляющая силы полного давления воды на заданную криволинейную поверхность со стороны уровня h1 действует вверх и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью при ширине затвора
![]() | (4.16) |
Вертикальная составляющая силы полного давления воды со стороны уровня h2 действует вниз и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью и направлена вниз
![]() | (4.17) |
Следовательно, равнодействующая вертикальных сил будет равна весу воды в объеме с площадью поперечного сечения
![]() | (4.18) |
где
![]() |
Тогда находим
![]() | (4.19) |
Сила полного давления воды на затвор равна сумме
![]() |
Линия действия равнодействующей гидростатического давления должна проходить через ось цилиндрической поверхности. На рис. 4.5 она проходит через точку и составляет с горизонталью угол
![]() | (4.20) |
Пример 4.3
Определить силу гидростатического давления воды на b=1 м ширины вальцевого затвора диаметром d=1,2 м при h1=1,2 м , h2 =0,5 м.
|
Рис. 4.6
Решение
Горизонтальную составляющую силы полного давления со стороны уровня h1
находим, как результирующую силу гидростатического давления на проекцию цилиндрической поверхности на плоскость перпендикулярную оси
![]() | (4.22) |
Точка приложения силы может быть вычислена из условия равенства моментов относительно оси
от составляющей гидростатического давления по оси
и силы
![]() | (4.23) |
Откуда получаем, что
![]() | (4.24) |
Численные значения
![]() ![]() | (4.25) |
Горизонтальная составляющая силы полного давления со стороны уровня h2 и ее
точка приложения определяются аналогично
![]() | (4.26) |
Проекция равнодействующей гидростатического давления на ось равна
![]() | (4.27) |
Линия действия силы делит отрезок
внешним образом на части обратно пропорциональные
![]() | (4.28) |
Так как , находим
![]() | (4.29) |
Далее получаем
![]() | (4.30) |
Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h1 равна весу воды в объеме с торцевым сечением (площадь половины круга, ширина затвора
)
![]() | (4.31) |
Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h2 равна весу воды в объеме с торцевым сечением
![]() | (4.32) |
где
![]() |
Расчет по формуле (4.32) дает результат
![]() | (4.33) |
Так как направлены в одну сторону и вверх, то их равнодействующая равна
![]() | (4.34) |
Что бы определить положение линии действия равнодействующей , установим расположения линий действия сил
и
.
|
Рис. 4.7
Вертикальная равнодействующая гидростатического давления на поверхности
(рис. 4.7) определяется по формуле
![]() | (4.35) |
Знак минус указывает на то, что сила направлена вертикально вверх. Это совпадает с ранее полученным результатом.
Равнодействующая и элементарные силы гидростатического давления относительно начала координат ( точка
) должны создавать одинаковые моменты, что и позволяет найти координату
, которая определяет положение линии действия силы
![]() | (4.36) |
Аналогичные действия для гидростатического давления со стороны дают следующий результат
![]() | (4.37) |
Следовательно, вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления имеет значение
![]() | (4.38) |
Положение линии действия силы легко найти по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Линия действия составляющей
будет проходить на расстоянии
, (см. рис. 4.7).
Координаты точки ,
и
в плоскости симметрии затвора, определяют точку
, через которую проходит равнодействующая гидростатического давления
. Второй точкой, через которую должна пройти линия действия силы
, будет точка
на оси затвора. Это легко понять, если уяснить, что элементарные силы
, действующие на площадке
, образуют сходящуюся систему сил, линии их действия пересекаются в точке
. Угол
, который образует линия действия силы
с осью
, равен
![]() | (4.39) |
Сила давления воды на затвор равна равнодействующей сил давления
![]() | (4.40) |
Пример 4.4
Для отливки полого чугунного цилиндра с наружным диаметром D = 500 мм , внутренним диаметром d = 400 мм и длиной l =1000 мм в опоку укладывается горизонтальный стержень А диаметром d и длиной =1200 мм . Необходимо определить вес G верхней половины заливочного ящика
, чтобы он не всплыл под действием давления жидкого чугуна с удельным весом
, если удельный вес формовочной земли
, а уровень верхнего края литника относительно оси стержня определяется высотой h=400 мм.
|
Рис. 4.8
Решение
При заливке литейной формы жидким чугуном верхняя часть заливочного ящика находится под воздействием силы тяжести
, гидростатического давления
на цилиндрической поверхности радиусом
и длиной
![]() | (4.41) |
силы давления всплывающего стержня
, которая определяется разностью веса стержня
и равнодействующей гидростатического давления
(всплывая стержень действует на часть
по поверхностям
- см. рис. 4.8)
![]() | (4.42) |
где .
Верхняя половина заливочного ящика не всплывет при условии
![]() | (4.43) |
где ;
– равнодействующая гидростатического давления
.
Равнодействующая гидростатического давления направлена вверх и равна
![]() | (4.44) |
Для определения силы рассмотрим равновесие сил действующих на стержень
, пренебрегая силами трения по его торцам
![]() | (4.45) |
здесь – сила тяжести стержня
;
– равнодействующая гидростатического давления
.
Вычисляем
![]() | (4.46) |
Сила направлена вертикально вверх.
Вес стержня равен
![]() | (4.47) |
Тогда находим
![]() | (4.48) |
Теперь легко находим минимальный вес , при котором верхняя половина заливочного ящика не всплывет
![]() | (4.49) |