атематическая часть задания 1

равнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата

остановка задачи задания №1

Задание 1

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа Р₁ Р₂,...Р_т;

- п дублирующих систем энергоснабжения с вероятностей отказа Р_1Э, Р_2Э,...Р_n_э;

- N с вероятностей отказа Р_скаждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (R+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D;

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы Р₁, одна система энергоснабжения с вероятностей отказа Р_1Эи N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Р_скаждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

- двигателей;

- систем энергоснабжения;

- вспомогательных подсистем.

Дано:

m = 3; Р₁ =810^-4, Р₂ =210^-4, Р₃=410^-4

r=2; Р_D=0,6;

n=3; Р_1Э=510^-3, Р_2Э=410^-4, Р_3Э=10^-3;

N=10³; P_c=310^-8.

Решение

атематическая часть задания 1

Введем обозначение событий:

- D₁, D₂, D₃ - отказ 1-го, 2-го, 3-го двигателей соответственно;

- В₁, В₂, В₃, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

- С_i - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i=1, 2,...,N;

- Е_к - катастрофа;

-E_kd , E_кэ, E_кc- катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А)Рассмотрим случай ЛАс дублирующими системами:

В этом случае:

Е_K=Е_KD+Е_K_Э+E_КС . (1.1)

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

= . (1.2)

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

Е_K= . (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(E_K)=1- P( )=1-P( ) . (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий Е_KD,Е_K_Э, E_КСполучим:

P(E_K)=1- P P( ) P(E_KC)=1-(1-P(E_KD))(1-P(E_K_Э))P(E_KC)). (1.5)

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_K_Э, E_КС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом:

- двигателей Е_К_D_;

- систем энергоснабжения Е_K_Э;

- вспомогательных подсистем Е_KC_.

1) Рассмотрим структуру событий Е_KDи найдем P(E_KD)= P_KD_.

Так как событие Е_KD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D . Значит:

Е_KD= Е_KDr+ Е_KD₍_r₊₁₎, где

Так как в нашем случае число двигателей m = 3, r = 2; то r + 1 = 2 + 1 = 3.

Значит:

Е_KD= Е_KD₂+ Е_KD_3,где

Е_К_D₂ - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =2 из m=3 двигателей;

Е_KD₃- событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r+ 1) = 3 и более двигателей, а в нашем Е_KD₃= Е_KD₃ - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа трех двигателей. Из этого следует, что:

Е_KD₃= Е_KD₃=D₁ D₂ D_3. (1.6)

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 2 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью P_D), значит E_KD₂=E_K E_D_2.

Тогда:

E_KD= E_KD₂+ E_KD₃= E_K E_D₂+ E_KD_3.

Так как события E_KD₂, и E_KD₃несовместны, то

P(E_KD)=P(E_KD₂+ E_KD₃)=P(E_KD₂)+ P(E_KD₃)=P(E_K E_D₂)+P(E_KD₃).

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

P(E_KD)=P(E_KD₂+ E_KD₃)=P(E_KD₂)+ P(E_KD₃)=P(E_K E_D₂)+P(E_KD₃)=

=P(E_K E_D₂)+P(E_KD₃)= P(E_K E_D₂)+P(D₁ D₂ D₃).

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=2 двигателей при работающих остальных из трех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

E_D₂=D₁ D₂ +D₁ D₃+ D₂ D_{3. .}(1.8)

то есть не работают 3-й, 2-й,1-й двигатели из трех, имеющихся у ЛА.

Тот факт, что события E_KD₂и E_KD₃несовместны, можно доказать следующим образом:

E_KD₂E_KD₃=<согласно(1.7) >= E_K E_D₂E_KD₃=<согласно(1.6) >= E_K E_D₂Е_KD₃= =<согласно(1.6) и(1.8) >= E_K(D₁ D₂ +D₁ D₃+ D₂ D₃) D₁ D₂D₃=

=E_K((D₁ D₂ D₁ D₂ D₃)+( D₁ D₃ D₁ D₂ D₃ )+( D₂ D₃ D₁ D₂ D₃)=

=E_K((D₁ D₁)( D₂ D₂)( D₃ ) + (D₁ D₁)( D₂ )( D₃ D₃)+

+( D₁ )( D₂ D₂)( D₃ D₃).

Используя тот факт, что AA =A и A =Ø, получим

E_KD₂E_KD₃=E_K((D₁ D₂ Ø) + (D₁ ØD₃)+(Ø D₂ D₃))=Ø.

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

P(E_KD)=P(E_K / E_D2)P(E_D2)+P( ).

а в силу независимости событий D_i , i= , далее имеем:

P(E_K / E_D2) P(E_D2)+ P( ) .

Используя (1.7) и несовместимость его (E_D₂) слагаемых

P(E_K / E_D₂)(P(D₁ D₂ )+P(D₁ D₃)+ P( D₂ D₃))+ ).

В силу всех независимых событий D_i , i= и потому, что

P( )=1-P(D_i), получим далее:

P(E_K / E_D₂)[P(D₁)P(D₂)(1-P(D₃) )+P(D₁)(1-P(D₂) )P(D₃)+

+(1-P(D₁)P(D₂)P(D₃)]+ ).

Так как P(D_i)=P_i , i= и P(E_K / E_D₂)=P_D, имеем

P(E_KD)=P_D[ P₁ P₂(1- P₃)+P₁(1-P₂)P₃ +(1- P₁)P₂P₃]+P₁P₂ P₃=

=P_D[P₁ P₂+P₁ P₃+ P₂ P₃](1-3P_D) P₁ P₂ P₃P_KD. (1.9)

Если выполняется условие P«P_D для всех i= и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то:

P₁ P₂ P₃ 0

А значит тоже:

(1-3P_D) P₁ P₂ P₃0

И тогда имеем:

P(E_KD)P_KDP_D(P₁ P₂+ P₁ P₃+ P₂ P₃) . (1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

P(E_KD)P_KDP_D(P₁ P₂+ P₁ P₃+ P₂ P₃ )=

=0.6(810^-4210^-4+810^-4410^-4+210^-4410^-4)=

=0.610^-8(16+32+8)=33,610^-8. (1.11)

2) Рассмотрим структуру событий Е_кэи найдем P(E_КЭ)=P_КЭ

E_КЭ B₁ B₂ B₃- катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n= 3 по условию задачи).

В силу независимости всех событий B_i , i= имеем

P(E_КЭ) P(B₁B₂B₃)=P(B₁) P(B₂) P(B₃)=P_1эP_2эP_{3э .}(1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(E_КЭ)P(B₁B₂B₃)=P(B₁) P(B₂) P(B₃)=P_1эP_2эP_3э=

=510^-4410^-410^-3=210^-10 . (1.13)

3) Рассмотрим структуру событий е_кси найдем P(е_кс) = P_кс.

Событие Е_кснаступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

е_ксC₁+C₂+…+C_N= .

В силу закона двойственности

е_кс = … = .

в силу независимости событий , i= получим

P ( ) P( =P( ) P( )… P( )= = 1-P(C_i)).

Так как P(C_i)=P_c_,i= получим

P ( )= = 1-P_с)=(1-P_c)^{N .}

тогда

P(е_кс)=(1- P ( )=1-(1-P_c)^NP_{KC .}

Если выполняется NP_C<<1=>

P ( )=( 1-P_c)^N=1-NP_C+ P_C²-…(-1)^NP_c^N 1-NP_{C .}(1.14)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(е_кс) 1-1+NP_C=NP_C=10³310^-8=310^-5.(1.15)

асчетная часть

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

P(E_К)=1-(1-P(E_KD))(1-P(е_кс))P( ))=1- =

=1- 1-P_D( P₁ P₂+ P₁ P₃+ P₂ P₃)+ (1-3 )P₁P₂P₃) (1-P_1Э P_2Э P_3ЭP_4Э)(1-P_c)^N.

Если выполняется условие NP_C<<1 и P_KD<<1 и P_КЭ<<1, то будем далее иметь

P_KD+ P_КЭ+ NP_C=3,3610^-7+210^-10+310^-5310^-5.

Так как P_KD=33,610^-8; P_КЭ=210^-10; NP_C=310^-5 =>

210^-103,3610^-7310^-5, из этого видно, что P_КЭ P_KD P_ксиз этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:

Р₁=810^-4, Р_1Э=510^-4, N=10³ , P_c=310^-8=>

P’(E_K)=P₁+P_1Э+NP_C=810^-4+510^-4+310^-5= 13,310^-4.

2 10^-10< 3 10^-8 <8 10^-4, из этого видно что P_КЭ< P’_КС < P’_KD , а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и вспомогательных систем, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P’(E_K) и P(E_K):

= =44,3(раза).

Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 44,3 раза, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения. В данном случае при m=3, а r=2, отсутствие дублирующих систем существенно увеличивает вероятность катастрофы.

адание 2