ассмотрим линейную регрессию.
Составим исходную расчетную таблицу. Для удобства можно добавить в нее еще два столбца: 
, чтобы сразу получить общую сумму квадратов.
| № п/п | Объем товарооборота  (тыс. руб.)
| Издержки  (тыс. руб.)
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 12,6 | 158,76 | 12,2 | +0,4 | 0,16 | 3,17 | ||||
| 6,7 | 44,89 | 7,2 | -0,5 | 0,25 | 7,46 | ||||
| 11,2 | 125,44 | 10,9 | +0,3 | 0,09 | 2,68 | ||||
| 9,6 | 92,16 | 9,6 | |||||||
| 3,4 | 11,56 | 3,3 | 0,1 | 0,01 | 2,94 | ||||
| 8,4 | 70,56 | 8,4 | |||||||
| 2,8 | 7,84 | 2,7 | 0,1 | 0,01 | 3,57 | ||||
| 13,0 | 13,4 | -0,4 | 0,16 | 3,08 | |||||
| 6,1 | 37,21 | 5,9 | 0,2 | 0,04 | 3,28 | ||||
| 1,9 | 3,61 | 2,1 | -0,2 | 0,04 | 10,53 | ||||
| Итого | 75,7 | 721,03 | 75,7 | 0,76 | 36,71 | ||||
| Сред.зн. | 103,5 | 7,57 | 11632,5 | 72,1 | 899,9 | 7,57 | - | - | 3,671 |
Функция издержек выразится зависимостью: 
.
Для определения коэффициентов «a» и «b» воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК):
(1) 
Домножим уравнение (1) системы на (-103,5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
9202,5b = 1164,05 или b = 0,12649.
Коэффициент корреляции b можно находить по формуле (2), не решая систему (1) непосредственно:
(2) 
, 
Результат аналогичен.
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1) системы (1):
10a = 75,7-1035b; 10a = 75,71035*0,12649; 10a =- 55,2;
a = -5,52.
Или можно «a» вычислить по формуле (3) 
,
.
Уравнение регрессии будет иметь вид: 
= -5,52 + 0,126 x
Затем, подставляя различные значения 
из столбца 2, получим теоретические значения для столбца 7:
,
аналогично для 
…и
.
В столбце 8 находим разность текущего значения 
и (теоретического), найденного по формуле (4).
Для расчета используем следующие формулы:
, 
, 
,
, 
, 
.
Коэффициент аппроксимации определим по формуле:
.
Средняя ошибка аппроксимации:
.
Допустимый предел значений 
- не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции 
. Найдем его по формуле для 
.
Коэффициент 
. Характер связи устанавливается по таблице Чеддока:
| Диапазон измерения | 0,1-0,3 | 0,3-0,5 | 0,5-0,7 | 0,7-0,9 | 0,9-0,99 |
| Характер тесноты связи | слабая | умеренная | заметная | высокая | весьма высокая |
В примере получилась связь прямая, весьма высокая.
Для вычисления коэффициента 
, используются и другие формулы:
.
3. Дисперсионный анализ. Общая сумма квадратов отклонений (т.е. общая дисперсия ) равна:
,
где 
- общая сумма квадратов отклонений,
- сумма отклонений, обусловленная регрессией (факторная),
- остаточная сумма квадратов отклонений.
.
Остаточная сумма 
определена в таблице в 9 столбце и равна 0,76. Тогда объясненная (факторная) сумма квадратов будет равна 
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей доле дисперсии 
характеризует индекс детерминации 
. Он определяется отношением объясненной дисперсии к общей 
.
Качество всего уравнения регрессии в целом, проверяется F-тестом.
Составим таблицу дисперсионного анализа:
| Источники вариации | Число степеней свободы |  квадр.
отклонений.
| Дисперсия на 1 степ. свободы. | F отн | |
| Факт | табл. (0,05) | ||||
| общая | 147,98 | 147,22 | 1549,68 | 5,32 | |
| объясненная | 147,22 | ||||
| остаточная | 0,76 | 0,095 |
Fтабл определяем по [1] в зависимости от уровня значимости ( = 0,05) и числа степеней свободы (df=8). Fтабл=5,32.
F-тест состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи rху.
Если Fфакт >Fтабл (1549>5,32), то гипотеза Но о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность.
Б) Степенная регрессия 
Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения 
:
Пусть 
, тогда 
Рассчитываем 
и b по формулам:
Все необходимые расчеты представлены в таблице 2.
| № п/п | x | y | X | Y | XY | X2 | Y2 | 
| 
| 
| Ai |
| 12,6 | 4,9416 | 2,5337 | 12,2053 | 24,4198 | 6,4196 | 11,6 | 1,0 | 1,0 | 7,9 | ||
| 6,7 | 4,6052 | 1,9021 | 8,7596 | 21,2076 | 3,6180 | 6,7 | |||||
| 11,2 | 4,8675 | 2,4159 | 11,7594 | 23,6929 | 5,8366 | 10,7 | 0,5 | 0,25 | 3.73 | ||
| 9,6 | 4,7875 | 2,2617 | 10,8282 | 22,9201 | 5,1156 | 9,3 | 0,3 | 0,09 | 0,93 | ||
| 3,4 | 4,2485 | 1,2237 | 5,1702 | 18,0497 | 1,4976 | 3,7 | 0,3 | 0,09 | 2,64 | ||
| 8,4 | 4,7005 | 2,1282 | 10,0037 | 22,0945 | 4,5294 | 7,8 | 0,6 | 0,36 | 4,28 | ||
| 2,8 | 4,1744 | 1,0296 | 4,2980 | 17,4255 | 1,0601 | 3,4 | - 0,6 | 0,36 | 12,8 | ||
| 13,0 | 5,0106 | 2,5649 | 12,8519 | 25,1065 | 6,5790 | 12,9 | 0,1 | 0,01 | 0,08 | ||
| 6,1 | 4,4998 | 1,8083 | 8,1369 | 20,2483 | 3,2699 | 5,7 | 0,4 | 0,16 | 2,62 | ||
| 1,9 | 4,0943 | 0,6418 | 2,6279 | 16,7637 | 0,4120 | 2,9 | - 1,0 | 1,0 | 52,6 | ||
| Итого | 75,7 | 45,9299 | 18,5099 | 86,6419 | 211,9286 | 37,9258 | 74,7 | 1,6 | 3,32 | 87,59 | |
| Средн.зн. | 103,5 | 7,57 | 4,59299 | 1,85099 | 8,66419 | 21,19286 | 3,79258 | 8,759 |
Параметры будут равны: 
Подставим их в уравнение и получим линейное уравнение:
Потенцируя которое, получим:
По этому уравнению заполняется вторая половина таблицы.
В) Уравнение гиперболы 
Линеаризуется при замене 
, тогда 
Все необходимые расчеты представим в таблице 6.
| № п/п | x | y | 
| 
| 
| 
| 
| 
| Ai |
| 12,6 | 0,0071429 | 0,05 | 0,000051 | 10,7 | 1,9 | 3,61 | |||
| 6,7 | 0,01 | 0,067 | 0,0001 | 8,1 | -1,4 | 1,96 | |||
| 11,2 | 0,007692 | 0,086154 | 0,000059 | 10,3 | 0,9 | 0,81 | |||
| 9,6 | 0,008333 | 0,08 | 0,000069 | 9,6 | |||||
| 3,4 | 0,014286 | 0,048571 | 0,000204 | 4,2 | -0,8 | 0,64 | |||
| 8,4 | 0,009091 | 0,076364 | 0,000083 | 8,9 | -0,5 | 0,25 | 5,9 | ||
| 2,8 | 0,015385 | 0,043077 | 0,000237 | 3,2 | -0,4 | 0,16 | |||
| 13,0 | 0,006667 | 0,086667 | 0,000044 | 11,3 | 1,7 | 2,89 | |||
| 6,1 | 0,011111 | 0,067778 | 0,000125 | 7,1 | -1 | ||||
| 1,9 | 0,016667 | 0,031667 | 0,000278 | -0,1 | 0,01 | 5,2 | |||
| Сумма | 75,7 | 0,106375 | 0,434124 | 0,001537 | 75,5 | 11,33 | 120,1 | ||
| Ср. знач. | 103,5 | 7,57 | 0,0106375 | 0,0434124 | 0,000154 |
Найдем параметры 
и 
, используя МНК.
Для этого решим систему (1), учитывая, что 
.
Таким образом, получили систему уравнений:
: 
:
Можно воспользоваться формулами.
Итак, получим уравнение:
.
Оценим тесноту связи результативным фактором и факторным признаком с помощью индекса корреляции 
(для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации 
, которые рассчитываются по следующим формулам:
,
Для степенной регрессии: 
Для гиперболы получим: ……………………………………… 
Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 7.
Таблица 7
| Вид регрессии | Формула для расчета |
| Линейная | 
|
| Степенная | 
|
| Гиперболическая | 
|
Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
, где 
.
Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:
.
Для степенной регрессии имеем:
.
Для гиперболы
.
Для линейном модели уже строили таблицу дисперсионного анализа
Для сравнения полученных уравнений регрессии построим следующую таблицу:
Таблица
| Вид регрессии | , 
| R2, r2 | 
| 
| F | 
|
| Линейная | 0,997 | 0,994 | 3,67 | 1,3973 | 0,76 | |
| Степенная | 0,988 | 0,978 | 8,76 | 1,2558 | 355,64 | 3,32 |
| Гиперболическая | 0,961 | 0,923 | 1,0796 | 95,90 | 11,33 |
Из итоговой таблицы видно, что коэффициент корреляции наибольший для линейной регрессии, коэффициент детерминации max, а коэффициент аппроксимации минимален, поэтому можно сделать вывод: наиболее сильное влияние на уровень издержек в зависимости от товарооборота получается при использовании в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию.
Для всех моделей 
, следовательно, все модели являются адекватными.
Из таблицы видно, что лучшим уравнением регрессии является линейная функция, так как коэффициент детерминации для этой функции является наибольшим из представленных в таблице, сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных является наименьшей и средний коэффициент аппроксимации является наименьшим.
Если получается, что коэффициент детерминации для нелинейной регрессии 
больше 
коэффициента детерминации для линейной регрессии, надо рассмотреть модуль 
. Если разность небольшая, т.е. условие модуля выполняется, то все равно выбираем линейную регрессию для дальнейших расчетов.
Чем больше кривизна линии регрессии, тем 
< . Если 
превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается не оправданным. В этом случае проводится оценка существенности различия по критерию Стьюдента.
- ошибка разности между и 
Если t < 2, то различия между и несущественны, и возможно применение линейной регрессии.
Если t >2, то различия существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна.
В нашем примере лучшей является линейная модель. Для линейной регрессии выполним дальнейшие расчеты.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывают t-критерий.
Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
, 
, 
.
;
,
где 
, или из табл. дисперсионного анализа (0,095).
, 
.
Для примера определим стандартную ошибку для параметра «b»:
Критерий Стьюдента для параметра «b» равен 39,5.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:
, 39,52=1560.
Табличное значение tтабл критерия Стьюдента определяем по [1] для и уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы df = 8, 
, т.к. 
> 
, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку 
для каждого показателя:
Доверительный интервал, 
, 
.
Для расчета доверительного интервала для параметра а, найдем:
, т.к. критерий Стьюдента двусторонний, а параметр а - отрицательный, то он значим. Найдем для него доверительный интервал:
Найдем доверительный интервал для параметра r:
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательная, а верхняя положительная, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значения.
Прогнозное значение 
определяется путем подстановки в уравнение регрессии:
Вычислим ошибку прогноза для уравнения 
:
.
И для уравнения 
:
(*) 
,
,
.
Для * 
,
,
,
,
,
.
Для уравнения с 
:
,
.
Библиографический список рекомендуемой литературы
1. Кремер Н.Ш. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебник / Кремер Н.Ш., Путко Б.А. —Электрон. текстовые данные. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012, — 328 с.— Режим доступа: http// www. iprbookshop.ru /8594. — ЭБС «IPRbooks», по паролю
2. Елисеева, И.И. Эконометрика: учебник для вузов /И.И. Елисеева [и др.]; под ред. И.И. Елисеевой.— М.: Проспект, 2013 .— 288с.
3. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике: учебное пособие для экономических вузов./И.И. Елисеева [и др.]; под ред. И.И. Елисеевой .— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Финансы и статистика, 2008 .— 344с.+1 опт. диск (CD-ROM).
4. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебно-мультимедийный компьютерный курс .— Multimedia (110MB) .— М. : Диполь, 2007 .— 1 опт. диск. (CD ROM) .— (Вузовская серия).
5. Новиков А.И. Эконометрика: Учеб.пособие. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 144 с.
Периодические издания
1. Журнал «Проблемы прогнозирования» c 2011 по 2013 гг.
2. Журнал «Экономика и математические методы» c 2011 по 2013 гг.
3. Прикладная эконометрика [Электронный ресурс]: Научно-практический журнал.— Режим доступа: http// www.elibrari.ru/ projeets/subscripfion/rus titles open.nsp.
Интернет-ресурсы
1. Электронный читальный зал "БИБЛИОТЕХ" : учебники авторов ТулГУ по всем дисциплинам. - Режим доступа: https://tsutula.bibliotech.ru/, по паролю.- Загл. с экрана
2. ЭБС IPRBooks универсальная базовая коллекция изданий. - Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/, по паролю.
3. Научная Электронная Библиотека eLibrary - библиотека электронной периодики.- Режим доступа: http://elibrary.ru/ , по паролю.- Загл. с экрана.
4. НЭБ КиберЛенинка научная электронная библиотека открытого доступа, режим доступа http://cyberleninka.ru/ ,свободный.- Загл. с экрана.
5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам: портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http: //window.edu.ru. - Загл. с экрана.
6. www.gks.ru / Федеральная служба государственной статистики/
7. www.minfin.ru / Министерство финансов РФ
8. www.minpromtorg.gov.ru / Министерство промышленности и торговли РФ/