ксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
лучайные события. Классификация. Действия над событиями.
Предметом изучения ТВ является закономерность в массовых случайных явлениях.
Явление называется массовым, если его, теоретически, можно наблюдать неограниченное количество раз в одинаковых условиях.
Исход случайного явления заранее не предопределён. Для описания случайных явлений строится математическая модель – вероятностная модель.
Опыт (эксперимент, наблюдение) – наблюдение некоторого явления при фиксированных условиях.
Факт, регистрируемый в результате опыта, называется событием.
Если факт был зарегистрирован, то говорят, что событие появилось, или возникло.
Случайное событие – событие, о котором заранее не известно, произойдёт оно или нет.
Случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами: 
Классификация случайных событий.
1. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в результате опыта ( 
);
2. Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдёт в результате опыта ( 
);
3. События называются несовместными, если они не могут происходить вместе в одном опыте;
4. Событие, противоположное 
– событие 
, состоящее в непоявлении события 
;
5. События 
и 
называются благоприятствующими ( 
), если появление события 
влечёт за собой появление события 
;
6. События и эквивалентны ( 
), если состоит в появлении , а – в появлении : 
7. Составные события – события, сами состоящие из нескольких событий.
Действия над событиями.
1. Сумма событий ( 
) – событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий-слагаемых.
2. Произведение событий ( 
) – событие, которое состоит в появлении обоих событий-множителей в одном опыте.
3. Разность событий ( 
) – событие, состоящее в появлении 
и непоявлении 
.
События образуют полную группу, если они в сумме дают достоверное событие: 
.
Множество элементарных исходов (исходов, элементарных событий) – полная группа несовместных равновозможных событий.
Равновозможные события – события, каждое из которых не является более возможным, чем другие.
Свойства операций над событиями.
10. Коммутативность: 
;
20. Дистрибутивность: 
;
30. Ассоциативность: 
.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
ксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
Пусть 
– некоторое множество (множество элементарных исходов). Элементы будем обозначать 
, подмножества 
, 
– случайные события.
Рассмотрим 
– алгебра множеств, порождённая подмножествами 
, если:
1. 
;
2. 
;
3. 
.
– 
. Если условие 3 выполняется для произвольного количества множеств, то 
– измеримое пространство.
Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): Каждому элементу 
ставится в соответствие неотрицательное вещественное число 
– вероятность.
Аксиома 2 (аксиома нормированности): 
.
Аксиома 3(аксиома сложения): 
.
Аксиома 4 (расширенная аксиома сложения): 
.
Аксиома 5 (аксиома непрерывности): 
.
Следствие 1: 
.
Доказательство: 
, 
.
Следствие 2: 
.
Доказательство: 
.
Следствие 3 (теорема сложения): 
.
Доказательство: 
Следствие 4 (неравенство треугольника): 
.
Следствие 5: 
.
Доказательство: 
.
Следствие 6: 
.
Доказательство: 
.