лассическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
Классическое определение вероятности.
Пусть всего элементарных исходов,
– число исходов, благоприятствующих событию
. Тогда
– вероятность.
1. – число сочетаний. Если опыт состоит в выборе
элементов из
без упорядочения и без возвращения, то общее число элементарных исходов в опыте будет равно количеству различных
комбинаций, отличных друг от друга, по крайней мере, одним составом элементов.
2. – число размещений без повторений. Если опыт состоит в выборе
элементов из
без возвращения, но с упорядочением элементов по мере их поступления, то количество элементарных исходов равно числу
комбинаций, отличных друг от друга либо порядком следования элементов, либо их составом (но один и тот же элемент встречается в группе не более одного раза).
3. – число размещений с повторениями. Если опыт состоит в выборе
элементов из
с возвращением и упорядочением элементов по мере их поступления, то общее число исходов опыта равно количеству
комбинаций, отличающихся друг от друга составом элементов, либо порядком их следования (при этом один и тот же элемент может повторяться несколько раз).
Геометрическое определение вероятности.
Если множество элементарных исходов может быть представлено некоторой областью , а множество благоприятствующих событию
исходов – подобластью
, то
.
Статистическое определение вероятности.
Рассмотрим опыт, в котором событие может появиться, а может и не появиться, и проведём этот опыт
раз. Пусть
раз событие
произошло, тогда
.
– сходимость по вероятности.
Вероятностью события называют (эмпирический) предел
, к которому стремится частота
события
при неограниченном увеличении числа
опытов.
еорема сложения. Следствия.
Теорема: . Для
событий:
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |

еорема доказана.
Следствие 1: если и
несовместны, то
.
Следствие 2:
Доказательство:
словная вероятность и её свойства. Теорема умножения вероятностей.
Говорят, что событие зависит от события
, если его вероятность меняется, когда происходит событие
.
Условная вероятность – это вероятность события , подсчитанная при условии, что
произошло. (
–
от
при условии
)
Если события и
независимы, то
.
Теорема:
Для
событий:
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |











. Теорема доказана.
Следствие 1: если не зависит от
, то
.
Следствие 2: если зависит от
, то
зависит от
.