одавання і віднімання векторів.
калярний добуток векторів.
http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply1/
Скалярним добутком двох векторів
a
і
b
буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів
a
и
b
.
Скалярним добутком двох векторів
a
и
b
буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними.
Властивість. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.
Так у випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів
a
=
{ax
;
ay}
и
b
=
{bx
;
by}
знаходиться за формулою
a
·
b
=
ax · bx
+
ay · by
Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів
a
=
{
1; 2
}
і
b
=
{
4; 8
}
.
Розв'язок
a
·
b
= 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20
Так у випадку просторової задачі скалярний добуток векторів
a
=
{ax
;
ay
;
az}
і
b
=
{bx
;
by
;
bz}
знаходиться за формулою
a
·
b
=
ax · bx
+
ay · by
+
az · bz
Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів
a
=
{
1; 2; -5
}
и
b
=
{
4; 8; 1
}
.
Розв'язок
a
·
b
= 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15
екторний добуток векторів.
http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply1/
Векторний добуток двох векторів
a
=
{x1; y1; z1}
і
b
=
{x2; y2; z2}
в декартовій системі координат - це вектор значення якого можна знайти за наступними формулами:
| a × b = | i | j | k | = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2) |
| x1 | y1 | z1 | ||
| x2 | y2 | z2 |
або
a
×
b
=
{y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}
Властивість 1. Модуль векторного добутку двох векторів
a
і
b
дорівнює площині паралелограма побудованого на цих векторах.
Властивість 2. Якщо векторний добуток двох векторів
a
и
b
дорівнює нулю то вектори колінеарні.
Приклад 1. Знайти векторний добуток векторів
a
=
{
1; 2; 3
}
і
b
=
{
2; 1; -2
}
.
Розв'язок
| a × b = | i | j | k | = |
| -2 |
=
I
(2 · (-2) - 3 · 1) -
J
(1 · (-2) - 2 · 3) +
K
(1 · 1 - 2 · 2) =
{
-7; 8; -3
}
ішаний добуток векторів.
http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/vector/multiply2/
Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора
a
на векторний добуток векторів
b
і
c
.
Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, побудованої з цих векторів.
Властивість 1. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами.
ластивість 2.
a
· [
b
×
c
] =
b
· [
c
×
a
] =
c
· [
a
×
b
] = -
a
· [
c
×
b
] = -
b
· [
a
×
c
] = -
c
· [
b
×
a
]
Властивість 3. Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.
Приклад1. Знайти мішаний добуток векторів
a
=
{
1; 2; 3
}
,
b
=
{
1; 1; 1
}
,
c
=
{
1; 2; 1
}
.
Розв'язок:
| a · [ b × с ] = | = | |||
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
ноження вектора на число.
добутком ненульового вектора на число - є вектор, колінеарний заданому, а його модуль дорівнює модулю заданого вектора, помноженого на модуль числа.
Добуток ненульового вектора на число - це вектор, координати якого дорівнюють відповідним координатам заданого вектора, помноженого на число.
Так у випадку плоскої задачі добуток вектора
a
=
{ax
;
ay}
на число
b
знаходиться за формулою
a
·
b
=
{ax · b
;
ay · b}
Приклад 1. Знайти добуток вектора
a
=
{
1; 2
}
на 3.
Розв'язок
3 ·
a
=
{
3 · 1; 3 · 2
}
=
{
3; 6
}
Так у випадку просторової задачі добуток вектора
a
=
{ax
;
ay
;
az}
на число
b
знаходиться за формулою
a
·
b
=
{ax · b
;
ay · b
;
az · b}
Приклад 1. Знайти добуток вектора
a
=
{
1; 2; -5
}
на 2.
Розв'язок
2 ·
a
=
{
2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)
}
=
{
2; 4; -10
}
одавання і віднімання векторів.
Додавання векторів (сума векторів)
a
+
b
- це операція знаходження вектора
c
, всі елементи, якого дорівнюють попарній сумі відповідних елементів векторів
a
и
b
, тобто кожен елемент вектора
c
дорівнює:
сi
=
ai
+
bi
Різниця векторів (віднімання векторів)
a
-
b
- це операція знаходження вектора
c
, всі елементи, якого дорівнюють попарній різниці відповідних елементів векторів
a
и
b
, тобто кожен елемент вектора
c
дорівнює:
сi
=
ai - bi
Так у випадку плоскої задачі сума і різниця векторів
a
=
{ax
;
ay}
і
b
=
{bx
;
by}
знаходяться за формулами
a
+
b
=
{ax
+
bx
;
ay
+
by}
a
-
b
=
{ax - bx; ay - by}
Приклад 1. Знайти суму векторів
a
=
{
1; 2
}
і
b
=
{
4; 8
}
.
Розв'язок
a
+
b
=
{
1 + 4; 2 + 8
}
=
{
5; 10
}
Приклад 2. Знайти різницю векторів
a
=
{
1; 2
}
і
b
=
{
4; 8
}
.
Розв'язок
a
+
b
=
{
1 - 4; 2 - 8
}
=
{
-3; -6
}
Так у випадку просторової задачі сума і різниця векторів
a
=
{ax
;
ay
;
az}
і
b
=
{bx
;
by
;
bz}
знаходяться за формулами
a
+
b
=
{ax
+
bx
;
ay
+
by
;
az
+
bz}
a
-
b
=
{ax - bx; ay - by; az - bz}
Приклад 1. Знайти суму векторів
a
=
{
1; 2; 5
}
иі
b
=
{
4; 8; 1
}
.
Розв'язок
a
+
b
=
{
1 + 4; 2 + 8; 5 + 1
}
=
{
5; 10; 6
}
Приклад 2. Знайти різницю векторів
a
=
{
1; 2; 5
}
і
b
=
{
4; 8; 1
}
.
Розв'язок
a
+
b
=
{
1 - 4; 2 - 8; 5 - 1
}
=
{
-3; -6; 4
}
Скалярний та векторний добутки. Проекція вектора на вектор
В даній статті будуть дані основні інструкції, щодо векторів. З їх допомого Ви будете знати що з ними можна робити, а що ні. Тож переходимо до вивчення операцій над векторами.
І. Сумою двох 
-вимірних векторів
і 
називають -вимірний вектор 
, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів - доданків, тобто
Для прикладу, якщо 
,
то 
З цього правила випливає, що різницею двох веторів буде вектор, координати якого є різницею відповідних координат векторів.
ІІ. Добутком числа 
(скаляра) на -вимірний вектор називається -вимірний вектор 
, координати якого дорівнюють добутку числа на відповідні координати вектора 
,тобто
Для прикладу,
Операції додавання векторів та множення числа на вектор ( 
- деякі числа) володіють властивостями:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) Для довільного вектора існує протилежний вектор 
такий, що 
ІІІ. Скалярним добутком 
двох -вимірних векторів і називають число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів, тобто
Для прикладу,
якщо 
, то
Згідно іншого означення, скалярний добуток двох векторів це число, яке рівне добутку довжин векторів (їх модулів) на косинус кута між ними
З наведеного вище означення можна отримати формулу для обчислення кута між векторами
або в координатній формі
Також є формулювання згідно якого, скалярний добуток двох векторів рівний модулю одного з них помноженому на проекцію другого вектора на напрям першого
З останнього означення випливають формули, для знаходження проекції вектора на вектор
або в координатній формі
Приклади знаходження скалярного добутку, кута між векторами та проекції одного вектора на інший будуть розглянуті нижче.
Алгебраїчні властивості скалярного добутку векторів:
1) 
2) 
3) 
4) 
Рівність 
має місце за умови 
Геометричні властивості скалярного добутку
1) вектори 
перпендикулярні між собою, якщо
2) кут між векторами гострий у випадках, коли
3) кут між векторами тупий у випадках, коли
ІV. Векторним добутком 
або 
двох векторів називається вектор 
, який відповідає наступним умовам:
1) модуль вектора рівний добутку модулів векторів 
і 
на синус кута між ними
2) вектор нормальний до площини, побудованої на векторах і ;
3) вектор напрямлений так, що з його кінця найкоротший поворот від вектора до відбувається проти руху годинникової стрілки. Іншими словами, вектори 
утворюють праву трійку.
Векторний добуток має наступні геометричні властивості:
Його модуль рівний площі паралелограма побудованого на векторах і
Тому площа трикутника, побудованого на векторах і рівна модулю половини векторного добутку цих векторів
Алгебраїчні властивості векторного добутку
1) векторний добуток рівний нулю у випадку колінеарності векторів та коли один з них нульовий;
2) від перестановки векторів векторний добуток змінює знак на протилежний:
3) 
4) 
На практиці важливо мати під рукою формулу для обчислення векторного добутку в к
оординатній формі, тому запишемо і її
Розглянемо конкретні приклади для засвоєння пройденого матеріалу.
--------------------------------------------
Приклад 1.
Задано вектори 
та 
Знайти наступні величини
1) суму векторів 
2) скалярний добуток векторів 
3) векторний добуток 
площу трикутника
побудованого на векторах 
4) кут між векторами
5) проекцію кожного з векторів на інший
Розв'язок.
1) Проведемо обчислення
2) Скалярний добуток буде рівний
3) Векторний добуток обчислюємо згідно формули
Площа трикутника буде рівна
4) Знайдемо кут між векторами за формулою
У ній скалярний добуток вже знайдений, тож знаходимо довжини векторів
Підставляємо потрібні значення у формулу
Знаходимо значення кута
5) Знайдемо проекції векторів
Проекції векторів можна шукати через косинус кута між векторами, результат від цього не зміниться
На цьому урок закінчено. Вивчайте правила та властивості операцій над векторами, вони стануть Вам у нагоді при навчанні
Мішаний добуток векторів. Його властивості
Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке рівне векторному добутку перших двох векторів , помноженому скалярно на вектор . Векторно це можна подати так
Так як вектори на практиці задають в координатній формі, то їх мішаний добуток рівний визначникові, побудованому на їх координатах
В силу того, що векторний добуток антикомутативний, а скалярний добуток комутативний, то циклічна перестановка векторів в мішаному добутку не змінює його значення. Перестановка двох сусідніх векторів змінює знак на протилежний
Мішаний добуток векторів додатній, якщо вони утворюють праву трійку та від'ємний – якщо ліву.
Геометричні властивості мішаного добутку
1. Об'єм паралепіпеда, побудованого на векторах рівний модулю мішаного добутку цих векторів
2. Об'єм чотирикутної піраміди рівний третині модуля мішаного добутку
3. Об'єм трикутної піраміди рівний одній шостій модуля мішаного добутк
4. Вектори компланарні тоді і лише тоді, коли
В координатах умова компланарності означає рівність нулю визначника
Для практичного засвоєння матеріалу розглянемо приклади.
-------------------------------------------
Приклад 1.
Визначити, якою трійкою (правою чи лівою) є вектори
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Розв'язок.
Знайдемо мішаний добуток і за знаком з'ясуємо, яку трійку векторів вони утворюють
1) 
Вектори утворюють праву трійку ( 
).
2)
Вектори утворюють праву трійку ( ).
3) 
Вектори утворюють ліву трійку ( 
).
4) 
Вектори утворюють праву трійку ( 
).
5) 
Вектори утворюють ліву трійку ( 
).
6) 
Дані вектори лінійно залежні.
-------------------------------------------
Приклад 2.
З'ясувати лінійну залежність векторів
1) 
2) 
3) 
Розв'язок.
Знайдемо мішаний добуток і перевіримо чи відмінні від нуля визначники
1) 
Вектори лінійно залежні ( 
).
2) 
Вектори лінійно незалежні ( 
) та утворюють ліву трійку.
3) 
Вектори лінійно залежні ( ).
Таким методом можна розв'язати безліч інших задач, все в кінцевому результаті зводиться до відшукання визначників третього порядку. Знаходимо визначник, аналізуємо його значення і приймаємо потрібну відповідь.