равнения движения, граничные условия, характеристическое уравнение
2.1. Волны Рэлея
Рис.6. Твёрдое полупространство
Рассмотрим распространение гармонической (зависимость от времени согласно множителю 
рэлеевской волны с частотой 
вдоль плоской границы однородного изотропного идеально упругого полупространства с вакуумом. Пусть полупространство занимает область z > О (рис.6). В общем случае уравнение движения изотропной однородной идеально упругой среды
записывается в следующей форме:
Здесь U — вектор смещения частиц среды; р — плотность;
и 
— упругие постоянные (параметры Ламе) среды;
— оператор Лапласа.
Представим вектор смещения в виде
где 
скалярные потенциалы соответственно
(из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно). Подставляя выражение (3) в уравнение (2) и производя некоторые операции , сведем это уравнение к двум независимым уравнениям:
Первое из них описывает распространение продольных, второе - поперечных волн. Продольные волны - безвихревые 
а в поперечных отсутствует объемное сжатие и расширение 
Не ограничивая по существу общности задачи, рассмотрим плоскую рэлеевскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х вдоль границы полупространства с вакуумом. В этом случае движение не зависит от координаты у и у векторного потенциала 
будет отлична от нуля только компонента по оси у. Эту компоненту обозначим просто через . Для плоской гармонической волны уравнения движения (4), и (5) будут удовлетворены, если потенциалы 
и являются решениями двух волновых уравнений вида:
Здесь 
- волновые числа соответственно продольных и поперечных волн.
Будем искать решения уравнений (6), (7), соответствующие плоской поверхностной волне. Для этого положим, что
И подставим в уравнения (6) и (7). Получим два линейных дифференциальных уравнения для функций 
и 
Двумя линейно независимыми решениями каждого из написанных уравнений будут являться функции 
и 
Априори предположим, что 
Тогда решения с положительными радикалами в экспоненте будут соответствовать нарастающему с глубиной движению, а решения с отрицательными радикалами — экспоненциально убывающему, т. е. поверхностной волне. Таким образом, выражения для и приобретают вид:
(9)
- произвольные постоянные
Согласно соотношению (3) компоненты смещения частиц в волне по осям х и z выражаются через потенциалы и следующим образом:
Используя линейную связь между тензором деформаций и тензором напряжений (закон Гука) в упругой среде и соотношения (10), можно представить через и и компоненты 
тензора напряжений:
На границе z = 0 полупространства с вакуумом напряжения 
и 
должны обращаться в нуль. Подставляя выражения для и в эти условия, получим систему линейных однородных уравнений относительно, произвольных постоянных А и В:
Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю ее определителя F (к). Это дает следующее характеристическое уравнение для нахождения волнового числа k:
Это уравнение называют уравнением Рэлея. Часто уравнение (13) записывают в полиномной форме:
Здесь введены обозначения: 
-фазовые скорости продольных и поперечных волн соответственно. Всегда, однако, следует помнить, что уравнение (14)—.производное и, в частности, может содержать лишние корни по сравнению с исходным уравнением Рэлея (13).
2.2 Волны Лява
Рэлеевская волна в изотропном твердом полупространстве, рассмотренная в пункте 2.1., состоит из двух плоских неоднородных волн — продольной и поперечной с векторами смещения, лежащими в плоскости, перпендикулярной границе и параллельной направлению распространения волны. Эти волны и составленная из них рэлеевская волна — волны с вертикальной поляризацией.
Рис.7. Твёрдое полупространство со слоем
Рассмотрим теперь волновые движения с взаимно дополнительным типом поляризации (горизонтальная поляризация), представляющие собой плоские поперечные волны со смещениями, параллельными свободной поверхности полупространства и перпендикулярными направлению распространения волны. Пусть волновой вектор лежит в плоскости xz, а смещения параллельны оси у (рис. 7). Эти волны с горизонтальной поляризацией также удовлетворяют уравнению (2), являясь его вторым линейно-независимым решением. Действительно, пусть 
поскольку волны плоские. Тогда уравнение (2) принимает следующую простую форму:
Решением этого уравнения и является указанная система волн с горизонтальной поляризацией. Простейшей волной с горизонтальной поляризацией является плоская объемная поперечная волна, скользящая вдоль границы полупространства и описываемая выражением:
где А — произвольная постоянная. Эта волна строго удовлетворяет граничным условиям отсутствия напряжений на плоскости z = 0. Скользящая объемная поперечная волна, как будет видно в дальнейшем, «неустойчива» в том смысле, что небольшое изменение граничных условий или свойств среды превращает ее в поверхностную. Поэтому ее можно рассматривать как некоторый предельный случай поверхностной волны с бесконечной толщиной слоя локализации. Первым примером такой неустойчивости являются волны Лява — второй основной тип звуковых поверхностных волн. В этом случае поверхностная волна получает «возможность существования» из-за добавления к полупространству твердого слоя, являющегося нагрузкой для полупространства.
2.3. Волны Стоунли
Третьим основным типом звуковых поверхностных волн являются волны на границе двух твердых полупространств (жестко склеенных), описанные Стоунли в 1924 г. Волны Стоунли бывают двух поляризаций: вертикальной 
и горизонтальной 
Рис.8. Граница двух твердых полупространств
Рассмотрим распространение плоской гармонической поверхностной волны в направлении положительной оси 
; вдоль плоской границы z = 0 двух жестко склеенных твердых полупространств (рис. 8). Будем считать, что волна в каждом из полупространств состоит из суммы продольной и поперечной плоских волн, каждая из которых является решением уравнений (4) или (5) с соответствующими значениями 
Тогда выражения для смещений можно представить в следующей форме:
-произвольные амплитуды;
Компоненты тензора 
в средах 1 и 2 выражаются через смешения по соотношениям:
На границе z = О должны выполняться условия равенства данных компонент напряжений и смещений 
в средах 1, 2. Записывая эти условия, получим систему линейных однородных уравнений относительно амплитуд 
Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю ее определителя. Это приводит к следующему дисперсионному уравнению:
Искомой поверхностной волне соответствует вещественный корень к0 данного уравнения, который удовлетворяет условию:
Только в этом случае выражения (17) описывают волновое движение, локализованное вблизи границы двух полупространств. После нахождения волнового числа к0 можно из системы (19) выразить три произвольные постоянные через четвертую и по формулам (17) рассчитать смещения в волне. Траекториями движения частиц в волне (как и в случае волны Рэлея) являются эллипсы.
Рассмотрим случай, когда второе полупространство — жидкость. Переходя в уравнении (20) к пределу при 
и учитывая, что 
(где 
— фазовая скорость звуковой волны в жидкости), 
, получим после некоторых преобразований следующее уравнение::
где 
— плотность жидкости; 
. Данное уравнение отличается от уравнения Рэлея (13) для полупространства со свободной границей наличием правой части, учитывающей влияние жидкости на полупространство 1 (рис.8.). Вычисляя по соотношениям (17), (19) смещения в верхнем и нижнем полупространствах с учетом указанных предельных соотношений при 
получим, что движение в твердом теле описывается выражениями (17), в которых kR нужно заменить на волновое число к0 волны Стоунли, а в жидкости — формулами:
В отличие от границы двух твердых полупространств при любом соотношении параметров твердой и жидкой сред уравнение (22) имеет один вещественный корень, соответствующий поверхностной волне, бегущей вдоль границы с фазовой скоростью с, меньшей скорости сж волны в жидкости и скоростей 
, 
продольных и поперечных волн в твердом теле.
В случае существенного различия плотностей и упругих модулей жидкости и твердого тела, когда 
и 
, для этого корня справедливо выражение:
Приведенные выражения показывают, что скорость рассматриваемой волны немного меньше 
и в жидкости волна локализована в толстом слое: 
, а в твердом теле — в тонком: толщина слоя ее локализации равна примерно 
. Энергия волны сосредоточена в основном в жидкости. Отметим, что именно эта волна распространяется по дну океана при землетрясениях.
рактическое использование
В настоящее время применение поверхностных акустических волн получило широкое распространение во многих сферах жизни людей Например, в медицине (ультразвуковое исследование), в геологии (сейсморазведка), в технике (ультразвуковая дефектоскопия) и тд..
Устройства на ПАВ, такие как датчики, фильтры, устройства обработки сигналов и т.п. получили широкое применение в системах связи, навигации и медицинской аппаратуре, обеспечивая надежное преобразование сигналов в диапазоне частот до нескольких ГГц. Устройства на ПАВ проектируются с использованием компьютерного моделирования, поскольку этот путь намного дешевле и быстрее, чем изготовление и исследование конкретных прототипов.
Для увеличения точности моделирования приходится использовать современные численные методы, позволяющие анализировать структуру со сложной конфигурацией системы электродов, так как устройства на ПАВ содержат встречно-штыревые преобразователя (ВШП), нанесенные на поверхность пьезоэлектрической среды. При наличии металлических электродов ПАВ, распространяющаяся вдоль поверхности пьезоэлектрика, частично отражается от электродов. При совпадении периода ПАВ с периодом системы электродов обеспечивается условие наиболее эффективной генерации и приема ПАВ, при этом ПАВ будут распространяться в двух противоположных направлениях, что может приводить к недопустимым потерям энергии. Для уменьшения потерь энергии применяют сложные геометрические формы ВШП, что дополнительно усложняет моделирование такой системы. Кроме того, необходимо учитывать механические параметры ВШП (“mass loading effect”), влияющие на условия распространения и параметры ПАВ.
Заключение
В ходе работы была достигнута поставленная цель, а именно изучены и проанализированы основные аспекты построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах. Для достижения главной цели работы были решены все поставленные задачи.
Изучены теоретические основы построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах, такие как основные понятия (упругие среды, упругие волны, акустические волны и т.д.) и наиболее часто встречаемые частные случаи поверхностных акустических волн.
Рассмотрены Уравнения движения, граничные условия, характеристическое уравнение для трёх наиболее часто встречающихся видов ПАВ( Рэлея, Лява, Стоунли).
Так же было изучено практическое применение математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах.
Список литературы
4. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.
5. Варыгина М.П., Похабова М.А., Садовская О.В., Садовский В.М. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками // Вычислительные методы и программирование. – 2011. – Т. 12,№ 2. – С. 435-442.
6. Гуляев Ю. В., Плесский В. П. Медленные поверхностные акустические волны в твердых телах.— Письма в ЖТФ, 1977, 3, № 5, с. 220—223.
7. Гришин A.С., Рэлеевские волны в изотропной среде. Аналитические решения и аппроксимации// Изв. РАН. MTT, 2001, No.1, pp. 48 - 52.
8. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002 – 352 с.
9. Исакович М. А. Общая акустика. Учебное пособие. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1973 г.
10. Осетров А.В., Нгуен В.Ш. Расчет параметров поверхностных акустических волн в пьезоэлектриках методом конечных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4. – № 4. – С. 71-80.
11. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1979. – 744 с
12. Садовский В.М., Садовская О.В.,. Похабова М.А. Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 1. – С. 52-60
13. Varygina M.P., Pokhabova M.A., Sadovskaya O.V., Sadovskii V.M. Numerical algorithms for the analysis of elastic waves in block media with thin interlayers. Numerical Methods and Programming, 2011, vol. 12, no. 2, pp. 435-442.
14. Hofer M., Finger N., Kovacs G., Schöberl J., Zaglmayr S., Langer U., Lerch R. Finite-element simulation of wave propagation in periodic piezoelectric SAW structures // IEEE Trans. UFFC. – 006. – V. 53, N. 6. –Р. 1192-1201.
15. Rayleigh. On waves propagated along the plane surface3 of an elastic solid.— Proc. London Math. Soc, 1885, 17, p. 4—11. 1.