урне находятся 5 белых и 4 черных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

адача 1. В ящике находятся одинаковых пар перчаток черного цвета и одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

Решение:

Рассмотрим:

событиеA – две извлечённые наудачу перчатки образуют пару черного цвета;

событиеВ – две извлечённые наудачу перчатки образуют пару бежевого цвета.

P(A) = ;

P(B)= .

Искомая вероятность:

или .

Так как ; , имеем:

Ответ: .

Задача 2. В урне находятся 3 шара белого цвета и шаров черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара; б) не менее двух белых шаров.

Решение:

Рассмотрим событие – при – ом извлечении достают белый шар.

; P .

а) вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется ровно два белых шара: .

б) вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется не менее двух белых шаров:

Так как , то текст задачи примет вид:

В урне находятся 3 шара белого цвета и 3 шаров черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара; б) не менее двух белых шаров.

Ответ:

Задача 3. В урне находятся белых и черных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

Решение:

Рассмотрим событие – при – ом извлечении достают белый шар.

; ; ; ; ;

;

; ; ; .

По формуле полной вероятности:

Так как ; , получаем задачу:

урне находятся 5 белых и 4 черных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

По формуле полной вероятности:

Ответ: .

Задача 4. Число деталей, выпущенных на первом заводе, относится к числу деталей, выпущенных на втором заводе как . Вероятность выпуска годной детали на первом заводе равна 0,06, а для второго завода эта вероятность равна 0,3. Все детали поступают на один склад. Какова вероятность того, что наугад взятая со склада деталь будет годной?

Решение: Пусть: – гипотезы, состоящие в выборе соответственно детали, выпущенной на первом заводе и на втором заводе;

событие – наугад взятая со склада деталь будет годной, тогда: ; ;

- (вероятность выпуска годной детали на первом заводе);

- (вероятность выпуска годной детали на втором заводе).

Искомую вероятность найдем по формуле Бейеса:

Ответ: .

Задача 5. Среди учебников 30% старых. Вероятность того, что в старом учебнике есть все темы лекционного курса, равна 0,8. В новых учебниках отражены все темы лекционного курса с вероятностью 0,52. Учебник содержит все темы лекционного курса. Какова вероятность того, что этот учебник новый?

Решение: Пусть: – гипотезы, состоящие в выборе соответственно старого и нового учебника; событие – учебник содержит все темы курса, тогда: ; ;

- (вероятность того, что в старом учебнике есть все темы лекционного курса);

- (вероятность того, что в новом учебнике есть все темы лекционного курса). Искомую вероятность найдем по формуле Бейеса:

Ответ: .

-2 -1 0 3 5
0,2 0,1 0,2

Задача 6. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Найти вероятности , дисперсию , если математическое ожидание равно: .

Решение:

1. Найдём вероятности : зная, что , имеем: + =1 - (0,2+0,1+0,2)=0,5;

;

; ; ;

.

2. Дисперсию найдём по формуле:

Ответ: 1. ; . 2.

Задача 7. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр ;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (4;6);

г) математическое ожидание M (X) и дисперсию D (X);