нтегрирование по частям в определенном интеграле
Для определенных интегралов имеет место формула интегрирования по частям, аналогичная той, которая была получена для неопределенного интеграла
Пусть на
имеем:
По формуле Н-Л и кроме того
Откуда или
ч.т.д.
а обобщенная формула интегрирования по частям перейдет в такую:
При этом по прежнему функции и все встречающиеся производные предполагаются непрерывными.
ример 1.
Пример 2
Замена переменного под знаком определенного интеграла
Пусть требуется вычислить от
. Иногда, как в неопределенном интеграле бывает удобно произвести замену перестановкой «х» на новую переменную t, которые связаны между собой соотношением:
Докажем относительно такой замены теорему
Th2. Пусть выполнены следующие условия:
1. Уравнения и
имеют решения
(Обозначим их соотвественно и
, так что
,
)
2. Функция (имеет непрерывную производную
на
)
3. При изменении на отрезке
значение функции
не выходит из отрезка
(т.е
) и следовательно сложная функция
определена
(или
).
Тогда имеет место равенство:
(1)
Называемое формулой замены переменной под знаком определенного интеграла
Доказательство
Пусть
на
, тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем
(2), рассмотрим на
функцию
переменного t определенную соотношением
и
. Вычислим ее производному по правилу сложной функции:
что функция
является первообразной для функции
на сегменте
.
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница (которая здесь применима, т.к. функция ) имеем:
(3)
(т.к. по условию )
Сопоставляя равенства (2) и (3) мы и получим доказываемую формулу (1)
(1) ч.т.д
амечание.
При использовании формулы (1) ф-ю следует стараться выбрать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.
Пределы нового интеграла определяются из уравнений:
и
. При этом эти уравнения могут иметь по несколько корней, тогда за
можно принять любой корень уравнения
, а за
любой корень уравнения
Лишь бы выполнялись условия 2 и 3 th. Условие th3 окажется, в частности, наверняка выполненным, если ф-я будет монотонной на [a,b]
Поэтому на практике замену переменного осуществляют с помощью монотонных функций.
Если ф-я не может принимать значений, равных пределам интегрирования a и b, то она не может служить для выполнения замены переменного в этом интеграле.
нтегрирование четных и нечетных функций.
Th Пусть на симметричном относительно начала координат сегменте.
Тогда
Док-во
ример 1.
Пример 2.
Решение. Ф-я четна. Докажем, что ф-я
нечетна;
Т.О., подынтегральная ф-я представляет собой произведение четной и нечетной функции, т.е является – нечетная ф-я, поэтому J=0
Замечание. Если ф-я f(x) периодическая с периодом Т то
Пример 3.
Решение. Подынтегральная ф-я является периодической с периодом Т= , т.к
Поэтому от верхнего и нижнего пределов интегрирования можно отнять число :
Пример 4. Вычислить интеграл.
Решение.
Мы разложили ин-л J в сумму двух интегралов Т.О., чтобы под знаком первого ин-ла стояла нечетная ф-я, а под знаком второго интеграла – четная функция. Тогда .