Приближенная оценка величины доверительного интервала по правилу трех сигм

Так как выбор надежности доверительной оценки допускает некоторый произвол, в практике статистической обработки результатов широкое распространение получило правило трех сигм:

Отклонение истинного значения случайной величины от среднего арифметического значения результатов измерений не превосходит утроенной средней квадратической ошибки генеральной совокупности. Таким образом, правило трех сигм представляет собой доверительную оценку

,

или

.

Надежность этой оценки существенно зависит от количества измерений n в выборке. Зависимость Р от количества измерений n для правила трех сигм указана в следующей таблице

 

n													¥
P	0.960	0.970	0.980	0.985	0.990	0.991	0.992	0.993	0.994	0.995	0.996	0.997	0.9973

 

 

Обычно для сгруппированного ряда применяют правило трех сигм с исправленной эмпирической дисперсией

,

где – поправка Шеппарда, h – ширина градации.

 

Необходимое количество измерений

Увеличивая количество измерений n даже при неизменной их точности, можно увеличить надежность доверительных оценок или сузить доверительный интервал для истинного значения случайной величины.

.

Предположим, величина доверительного интервала для выборки из n₁ значений равна . Мы хотим сузить величину в m раз. Каков должен быть объем выборки для достижения этой цели?

,

,

Т.е. .

Таким образом, уменьшение доверительного интервала в m раз обеспечивается увеличением количества измерений в m² раз. Например, уменьшение доверительного интервала в 2 раза обеспечивается увеличением количества измерений в 4 раза.

Необходимое количество измерений для достижения требуемой достоверности Р можно определить заранее, задавая величину отношения (т.е. задавая величину доверительного интервала в долях от с.к.о., например, 0.5s или 0.1s ). Для определения количества измерений n в зависимости от q и Р применяется таблица

 

q	P
0.95	0.99
1.0 ( )
0.5 ( )
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05

 

На практике можно ограничиться меньшим числом измерений, если применить следующий прием. Сначала нужно произвести сравнительно небольшое количество измерений (в 3-4 раза меньше указанного в таблице). По результатам этих измерений рассчитать доверительный интервал. Затем уточнить необходимое количество измерений из тех соображений, что уменьшение доверительного интервала в m раз обеспечивается увеличением количества измерений в m² раз. Например, уменьшение доверительного интервала в 2 раза обеспечивается увеличением количества измерений в 4 раза.