Ускорение и искривление пространства и времени

Эйнштейн работал над проблемой гравитации с предельной, часто чрезмерной интенсивностью. Примерно через пять лет после счастливого озарения в бернском патентном бюро, он писал физику Арнольду Зоммерфельду: «Сейчас я работаю исключительно над проблемой гравитации... одно могу сказать определенно — никогда в моей жизни


Глава 3. РћР± искривлениях Рё волнистой СЂСЏР±РёВВВВВВВВВВВВВВВВВ ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ49

я не изнурял себя так, как сейчас... по сравнению с этой проблемой первоначальная (т. е. специальная) теория относительности кажется детской забавой»3'.

Следующий ключевой прорыв, касающийся простого, но неочевидного следствия применения специальной теории относительности для установления связи между гравитацией и ускоренным движением, был сделан, по-видимому, в 1912 г. Чтобы понять этот шаг в исследованиях Эйнштейна, проще всего обратиться (так, вероятно, поступил и Эйнштейн) к конкретному примеру ускоренного движения4'. Вспомним, что объект считается ускоренно движущимся, если он изменяет скорость или направление своего движения. Для простоты ограничимся ускоренным движением, в котором скорость остается постоянной, а изменяется только направление движения тела. Конкретно рассмотрим движение по кругу, которое можно увидеть на аттракционе Верхом на торнадо. В этом аттракционе вы становитесь внутрь большого круга, по краю которого расположена стенка, изготовленная из плексигласа, прижимаетесь спиной к этой стенке, и круг начинает вращаться с большой скоростью. Как при всяком ускоренном движении (вы можете ощутить его), вы почувствуете, что ваше тело отбрасывается по радиусу от центра вращения, а круговая плексигласовая стенка вдавливается в вашу спину, не давая вам вылететь с круга. (На самом деле, хотя это не относится к нашему разговору, вращательное движение «прилепляет» ваше тело к плексигласу с такой силой, что когда планка, на которой вы стоите, уходит из-под ног, вы не падаете, а остаетесь прижатым к стенке.) Если движение плавное, и вы закроете глаза, давление, которое будет действовать на вашу спину в результате вращения, — совсем как давление со стороны матраса в постели — почти способно создать иллюзию, что вы лежите. Слово «почти» связано с тем фактом, что вы продолжаете испытывать действие обычной, «вертикальной» гравитации, которая не дает вашему мозгу одурачить себя. Но если бы вам довелось кататься на этом аттракционе в открытом космосе, и если бы скорость вращения была соответствующей, вы бы почувствовали себя лежащим в обычной постели на Земле. Более того, если бы вы «встали» и попробовали бы прогуляться по внутренней поверхности вращающейся плексигласовой стенки, ваши ноги ощутили бы точно такое же давление, какое они испытывают на обычном полу. На самом деле, проекты космических станций предусматривают подобное вращение для создания искусственной силы тяжести в космическом пространстве.

Теперь, используя ускоренное движение во вращающемся аттракционе для имитации действия силы тяжести, можно, следуя Эйнштейну, посмотреть, как выглядят пространство и время для тех, кто находится на круге. Его рассуждения в приложении к нашей ситуации были бы такими. Мы, неподвижные наблюдатели, легко можем измерить длину окружности и радиус вращающегося круга. Например, чтобы измерить длину окружности, мы будем аккуратно прикладывать рулетку к ободу вращающегося круга; для измерения радиуса мы будем также аккуратно перемещать рулетку от оси вращения к внешнему краю круга. Как можно предположить, основываясь на школьном курсе геометрии, отношение эти двух величин будет равно 2p (около 6,28), в точности таким же, как для окружности, нарисованной на плоском листе бумаги. А как это будет выглядеть с точки зрения того, кто катается на этом аттракционе?

Чтобы узнать это, мы попросили Слима и Джима, которые как раз катаются на этом аттракционе, выполнить для нас несколько измерений. Мы бросили одну из наших рулеток Слиму, который отправился измерять длину окружности, а другую — Джиму, который будет измерять радиус. Чтобы увидеть все наилучшим образом, взглянем на круг с высоты птичьего полета, как показано на рис. 3.1. Мы снабдили снимок стрелками, показывающими мгновенное направление движения в каждой точке. Как только Слим начинает измерять длину окружности, нам, из положения сверху, сразу становится понятно, что он получит не то значение, которое получили мы. Когда он прикладывает рулетку к окружности, мы замечаем, что ее длина уменьшается. Это не что иное, как


50ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Часть Рџ. Дилемма пространства, времени Рё квантов

РРёСЃ. 3.1. Линейка Слима укорачивается, так как РѕРЅР° прикладывается вдоль направления движения РєСЂСѓРіР°. Линейка же Джима лежит вдоль радиуса РєСЂСѓРіР°, перпендикулярно направлению движения, Рё поэтому ее длина РЅРµ уменьшается
РРёСЃ. 3.2. Окружность, нарисованная РЅР° поверхности сферы (Р±), имеет меньшую длину, чем окружность, нарисованная РЅР° плоском листе бумаги (Рѕ), Р° окружность, начерченная РЅР° седлообразной поверхности, будет иметь большую длину, несмотря РЅР° то, что РІСЃРµ три имеют одинаковый радиус

 

обсуждавшееся в главе 2 лоренцево сокращение, которое связано с тем, что длина тела представляется уменьшившейся в направлении его движения. Уменьшение длины рулетки означает, что мы должны будем уложить ее, совмещая начало с концом, большее число раз, чтобы обойти весь круг. Так как Слим продолжает считать, что длина рулетки составляет один метр (поскольку между ним и его рулеткой нет относительного перемещения, он думает, что она имеет свою обычную длину в один метр), он измерит большую длину окружности, чем мы. (Если это кажется парадоксальным, вам может помочь примечание 5.)

Ну, а что насчет радиуса? Джим использует тот же метод определения радиуса, и нам, с высоты птичьего полета, видно, что он получит такое же значение, которое получили мы. Причина состоит в том, что его рулетка располагается не по мгновенному направлению движения круга (как было при измерении длины окружности). Она направлена под углом 90 градусов к направлению движения и поэтому не сокращается в направлении своей длины. Следовательно, Джим получит точно такое же значение величины радиуса, какое получили мы.

Но теперь, рассчитав отношение длины окружности колеса к его радиусу, Слим и Джим получат число, которое будет превышать полученное нами значение 2p, поскольку у них длина окружности оказалась больше, а радиус остался тем же самым. Что за чудеса? Как может быть, чтобы для какой--нибудь фигуры в форме окружности нарушалось установленное еще древними греками правило, согласно которому для любой окружности это отношение в точности равно 2p?

Р’РѕС‚ объяснение Эйнштейна. Результат древних греков справедлив для окружностей, нарисованных РЅР° плоской поверхности. РќРѕ РїРѕРґРѕР±РЅРѕ тому, как кривые зеркала РІ парке развлечений искажают нормальную пространственную структуру вашего отражения, так Рё пространственная форма окружности исказится, если РѕРЅР° будет нарисована РЅР° искривленной или деформированной поверхности: отношение длины окружности Рє радиусу для такой окружности, как правило, РЅРµ будет равно 2p.

В качестве примера на рис. 3.2 приведены три окружности одинакового радиуса. Длины этих окружностей различны. Длина окружности (б), нарисованной на искривленной поверхности сферы, меньше длины окружности (а), нарисованной на плоской поверхности, несмотря на то, что они имеют одинаковый радиус. Искривленный характер поверхности сферы приводит к тому, что радиальные линии, проведенные из центра, слегка сходятся друг к другу, приводя к небольшому уменьшению длины окружности. Длина окружности (в), нарисованной на седловидной искривленной поверхности, больше, чем длина окружности, изображенной на плоской поверхности. Свойства кривизны седловидной поверхности приводят


Глава 3. РћР± искривлениях Рё волнистой СЂСЏР±РёВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ 51

к тому, что радиальные линии слегка расходятся, вызывая небольшое увеличение длины окружности. Эти наблюдения показывают, что отношение длины окружности к радиусу для (б) будет меньше, чем 2p, а для (в) — больше, чем 2p. Но отклонения от значения 2p, особенно в сторону увеличения, как в примере (в), — это как раз то, что было обнаружено в случае вращающегося аттракциона. Подобные наблюдения привели Эйнштейна к идее, что нарушение «обычной», евклидовой геометрии объясняется кривизной пространства. Плоская геометрия древних греков, которой тысячи лет учат школьников, попросту не применима к объектам на вращающемся круге. Вместо этого здесь имеет место ее обобщение на случай искривленного пространства, схематически показанное на рис.3.2в 5).

Итак, Эйнштейн понял, что установленные древними греками привычные пространственные геометрические отношения, которые верны для «плоских» пространственных фигур, таких, как окружность на плоском столе, не выполняются с точки зрения наблюдателя, испытывающего ускорение. Конечно, мы рассмотрели здесь только один, конкретный вид ускоренного движения, но Эйнштейн показал, что аналогичный результат — искривление пространства — справедлив для всех случаев ускоренного движения.

В действительности, ускоренное движение приводит не только к искривлению пространства, но и к аналогичному искривлению времени. (Исторически Эйнштейн сначала сосредоточил внимание на кривизне времени, и только потом осознал важность кривизны пространства6'.) То, что время также подвергается искривлению, неудивительно — в главе 2 мы уже видели, что специальная теория относительности провозглашает союз пространства и времени. Это слияние было подытожено поэтическими словами Минковского, который на лекции по специальной теории относительности в 1908 г. сказал: «Отныне пространство и время, рассматриваемые отдельно и независимо, обращаются в тени и только их соединение сохраняет самостоятельность»7). Пользуясь более приземленным, но столь же вольным языком, можно сказать, что сплетая пространство и время в единую ткань пространства-времени, специальная теория относительности провозглашает: «То, что истинно для пространства, то истинно и для времени». Однако здесь возникает вопрос. Мы можем представить себе искривленное пространство, зная, как искривлена его форма, но что мы имеем в виду, говоря о кривизне времени?

Для того чтобы нащупать ответ, еще раз посадим Слима и Джима на аттракцион и попросим их провести следующий эксперимент. Слим будет стоять на краю радиального отрезка спиной к кругу, а Джим будет медленно ползти к нему вдоль этого радиуса от центра круга. Через каждые несколько метров Джим будет останавливаться, и они будут сравнивать показания своих часов. Что они увидят? Наблюдая со своей позиции с высоты птичьего полета, мы снова сможем предсказать ответ. Их часы будут расходиться в показаниях. Мы пришли к этому выводу потому, что увидели, что Слим и Джим движутся с разной скоростью — при движении на аттракционе чем дальше от центра вы находитесь, тем большее расстояние должны пройти для того, чтобы совершить один оборот и, следовательно, тем быстрее вы движетесь. Но, согласно специальной теории относительности, чем быстрее вы движетесь, тем медленнее идут ваши часы — из этого мы заключаем, что часы Слима будут идти медленнее, чем часы Джима. Далее, Слим и Джим обнаружат, что по мере того как Джим будет приближаться к Слиму, его часы будут идти все медленнее, и скорость их хода будет становиться такой же, как у часов Слима. Это отражает тот факт, что по мере приближения Джима к краю круга, его скорость приближается к скорости Слима.

Мы приходим к выводу, что для наблюдателей на вращающемся круге, таких как Слим и Джим, скорость течения времени зависит от их положения — в нашем случае от их расстояния до центра круга. Это является иллюстрацией того, что мы понимаем под кривизной времени. Время искривлено, если скорость его хода изменяется от одной точки к другой. Важно подчеркнуть, что Джим заметит кое-что еще, когда будет ползти вдоль радиуса. Он почувствует возрастаю-


52ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Часть Рџ. Дилемма пространства, времени Рё квантов

щую силу, выталкивающую его с круга, поскольку не только скорость, но и ускорение увеличиваются по мере удаления от центра круга. Используя наш аттракцион, мы видим, что большее ускорение связано с более сильным замедлением хода часов, — т. е. большее ускорение приводит к более значительному искривлению времени.

Эти наблюдения дали возможность Эйнштейну сделать заключительный шаг. Поскольку он уже показал, что гравитацию и ускоренное движение нельзя по существу различить, и поскольку, как он показал теперь, ускоренное движение связано с искривлением пространства и времени, он сделал следующее предположение о внутреннем содержании «черного ящика» гравитации, механизме, с помощью которого действует гравитация. Согласно Эйнштейну, гравитация представляет собой искривление пространства и времени. Посмотрим, что это означает.