Физика и математика зеркальной симметрии

Ослабление жесткой и однозначной эйнштейновской взаимосвязи между геометрией пространства и наблюдаемыми физическими явлениями есть яркий пример новизны теории струн. Однако развитие теории струн далеко не исчерпывается изменением философской концепции. Зеркальная симметрия, в частности, дает мощное средство для исследования как физических аспектов теории струн, так и математических аспектов теории пространств Калаби—Яу.

Математики, работающие в области так называемой алгебраической геометрии, изучали пространства Калаби—Яу из чисто математического интереса задолго до открытия теории струн. Они обнаружили множество свойств этих геометрических пространств, никоим образом не предполагая, что их результаты будут когда-нибудь использоваться физиками. Однако определенные черты теории пространств Калаби—Яу оказались слишком сложными для всестороннего математического исследования. Открытие зеркальной симметрии существенно изменило положение дел. По существу, зеркальная симметрия говорит о том, что определенные пары пространств Калаби—Яу, которые ранее считались совершенно независимыми, тесно связаны теорией струн. Связь состоит в том, что если в качестве дополнительных свернутых измерений выбирать два пространства из любой пары, получатся физически эквивалентные вселенные. Такая неожиданная взаимосвязь дает мощный инструмент математических и физических исследований.

Представим, например, что вы хотите вычислить физические характеристики — массы и заряды, — соответствующие выбору одного из возможных пространств Калаби— Яу в качестве дополнительных измерений. При этом вас не особенно заботит степень согласования ваших результатов с экспериментом, так как в настоящее время, в силу ряда рассмотренных выше теоретических и технических причин, экспериментальное подтверждение результатов достаточно проблематично. Вместо этого проводится мысленный эксперимент, который должен показать, как выглядел бы мир, если бы было выбрано данное пространство Калаби—Яу. Сначала все идет хорошо, но в середине такого теоретического анализа возникает необходимость математического расчета непомерной сложности. Никто, ни один из лучших специалистов-математиков, не может подсказать, как поступать дальше. Двигаться некуда. И тут выясняется, что у этого пространства Калаби—Яу есть зеркальный партнер. Поскольку окончательные физические свойства будут одинаковы для каждого члена зеркальной пары, вычисления можно прово-


Глава 10. Квантовая геометрияВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ173

дить для любого из этих пространств. Таким образом, можно перевести сложное вычисление для первого из пространств на язык его зеркального партнера, и результат вычислений, т. е. физические свойства, будут теми же. Сначала можно предположить, что измененный вариант вычисления будет таким же сложным, как первоначальный. Но возникает приятная и поразительная неожиданность. Обнаруживается, что вид вычисляемого выражения очень сильно отличается от исходного, и, в некоторых случаях, невообразимо сложное вычисление становится поразительно легким в зеркальном пространстве. Не существует простого объяснения, почему это происходит, но, по крайней мере для определенных вычислений, это действительно так, и уменьшение сложности расчетов оказывается впечатляющим. В результате препятствие на пути решения задачи становится преодолимым.

Ситуация схожа со случаем, когда требуется точно подсчитать число апельсинов, плотно набитых в огромный ящик, скажем, со сторонами 15 м и глубиной 3 м. Пересчитывать апельсины по одному крайне неблагодарное занятие. Но тут, к счастью, находится человек, который присутствовал в момент, когда завезли эти апельсины. Он сообщает, что апельсины были аккуратно упакованы в меньшие коробки, занимающие куб, по длине, ширине и глубине которого умещалось 20 коробок. Оценив, что число коробок равно 8 000, остается лишь вычислить, сколько апельсинов входит в одну коробку, и задача решена. В итоге, путем грамотного преобразования вычислений удается значительно упростить задачу. В теории струн ситуация с громоздкими вычислениями аналогична. Что касается пространств Калаби—Яу, вычисления могут состоять из очень большого числа этапов. Однако при переходе к расчетам для зеркального пространства вычисления можно гораздо более эффективно реорганизовать, так что выполнить их достаточно просто. Этот факт был отмечен Плессером и мной, а затем результативно использовался на практике в последующих работах Канделаса и его коллег Ксении де ла Осса и Линды Паркс из Техасского университета, а также Пола Грина из университета штата Мэриленд. Они показали, что вычисления невообразимой сложности могут быть проведены до конца с помощью идеи зеркальной пары, персонального компьютера и пары листов алгебраических выкладок.

Особенно захватывающим данный результат оказался для математиков, так как именно из-за этих вычислений многие их исследования годами находились в тупике. Теория струн, по крайней мере по утверждениям физиков, обогнала математику.

Здесь можно напомнить о многолетнем здоровом и добром соперничестве между физиками и математиками. Случилось так, что два норвежских математика, Гейр Эллингсруд и Штейн Арилд Штремме, работали над одной из многочисленных задач, которую Канделас и его коллеги успешно решили с использованием зеркальной симметрии. Грубо говоря, задача заключалась в вычислении числа сфер, которые можно упаковать внутрь некоторого пространства Калаби— Яу. Это подобно нашему примеру с подсчетом числа апельсинов в ящике. На семинаре в 1991 г. в Беркли, где собрались физики и математики, Канделас объявил о результате, полученном его группой с использованием теории струн и зеркальной симметрии: 317 206 375. Эллингсруд и Штремме, в свою очередь, объявили о результате своего очень сложного математического вычисления: 2 682 549 425. Несколько дней математики и физики спорили: кто же прав? Вопрос был принципиальным и мог, фактически, служить «лакмусовой бумажкой» для проверки достоверности количественных результатов теории струн. Некоторые даже шутливо замечали, что такая проверка — лучшее, что можно придумать ввиду невозможности проверки теории струн на эксперименте. Кроме того, в результате Канделаса заключалось нечто гораздо большее, чем просто число, каковым это было для Эллинг-сруда и Штремме. Канделас и его коллеги, кроме того, объявили о решении многих других задач неизмеримо большей сложности, за которые никогда не взялся бы ни один математик. Но можно ли верить результатам теории струн? Семинар закончился плодотворным обменом мнений между математи-


174ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Часть IV. Теория струн Рё структура пространства-времени

ками и физиками, но причина расхождения результатов так и не была установлена.

Примерно месяц спустя участники семинара в Беркли получили по электронной почте письмо, озаглавленное «Физика победила!». Эллингсруд и Штремме нашли ошибку в своей компьютерной программе, и после ее исправления результат совпал с результатом группы Канделаса. С тех пор было проведено немало количественных проверок надежности расчетов в теории струн с помощью зеркальной симметрии. Теория струн с триумфом прошла все проверки. Еще позже, почти через десять лет после открытия физиками зеркальной симметрии, математики добились значительных успехов в выявлении математических принципов, лежащих в основе этой симметрии. Используя фундаментальные результаты математиков Максима Концевича, Юрия Манина, Ганга Тиана, Джуна Ли и Александра Гивенталя, Яу и его коллеги Бонг Лиан и Кефенг Лиу нашли, в конце концов, строгое математическое доказательство для обоснования формул, используемых для подсчета числа сфер внутри пространств Калаби—Яу, разрешив проблемы, которые сотни лет оставались камнем преткновения для математиков.

Эти исследования не просто оказались успешными для конкретного случая, но и выявили ту роль, которую физика начала играть в современной математике. Довольно долгое время физики рылись в архивах математических журналов в поисках средств для построения и анализа моделей физического мира. Сейчас, с открытием теории струн, физика начинает выплачивать свой долг и снабжать математиков новыми мощными подходами к неразрешенным проблемам. Теория струн не только предлагает единое описание физического мира, но и помогает установить глубокий и прочный союз с математикой.


Глава 11. Разрывая ткань пространства

Если непрерывно растягивать резиновую пленку, рано или поздно она порвется. Этот простой факт заставлял физиков годами обращаться к вопросу, возможно ли подобное по отношению к ткани пространства, создающего Вселенную. Может ли эта ткань разорваться, или такое вводящее в заблуждение представление есть результат слишком буквального понимания аналогии с резиновой пленкой?

Общая теория относительности Эйнштейна отвечает на вопрос о возможном разрыве структуры пространства отрицательно1'. Уравнения общей теории относительности основаны на римановой геометрии, которая, как отмечалось в предыдущей главе, позволяет проанализировать искажения свойств расстояний между соседними точками пространства. Чтобы формулы для расстояний были осмысленными, в математическом формализме требуется гладкость самого пространства. Понятие «гладкости» имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова «гладкость» хорошо передает суть этого понятия: гладкий — значит без складок, без проколов, без отдельных «нагроможденных» друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит.

Впрочем, эта зловещая перспектива не отпугивала склонных фантазировать теоретиков, которые годами исследовали возможность квантово-механического обобщения классической теории Эйнштейна, допускающего существование проколов, разрывов и слияний ткани пространства. Тот факт, что по законам квантовой физики на малых расстояниях происходят неистовые флуктуации, позволял предположить, что проколы и разрывы могут быть обычными явлениями в микроскопической структуре пространства. Понятие пространственно-временных червоточин*)(хорошо знакомое поклонникам фантастического сериала «Звездный путь») опирается на подобные предположения. Идея проста. Представим себе крупную корпорацию, управление которой находится на девяностом этаже одного из небоскребов. Исторически сложилось так, что отделение корпорации, с которым сотрудникам этого управления в последнее время все чаще приходится связываться, находится на девяностом этаже соседнего небоскреба. Так как переносить один из офисов в другое здание нецелесообразно, разумным решением было бы строительство моста, соединяющего две башни. Тогда сотрудники получили бы возможность переходить из офиса в офис, не спускаясь вниз и поднимаясь вверх на девяносто этажей.

Пространственно-временная червоточина играет схожую роль. Это мост или туннель, служащий укороченным маршрутом из одной области вселенной в другую. Пример червоточины в двумерной вселенной показан на рис. 11.1. Если управление «двумерной» корпорации находится вблизи нижней окружности рис. 11.1 а, то в ее отделение на верхней окружности можно попасть, лишь путешествуя по всему U-образному маршруту, ведущему из одного края вселенной в другой. Но если ткань пространства может рваться с образованием проколов, изображенных на рис. 11.1 б; если эти проколы могут «срастись» краями, как на рис. 11.1 в,

*' В русскоязычной литературе более распространенным является термин «кротовые норы». — Прим. ред.


176ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ Часть IV. Теория струн Рё структура пространства-времени

то две ранее отдаленные области соединятся пространственным мостом. Это и есть червоточина. Нужно отметить, что хотя червоточина и мост между небоскребами имеют некоторое сходство, между ними есть и существенное различие. Мост между небоскребами пролегает по существующему пространству, т. е. по пространству между небоскребами. Червоточина, в отличие от этого, образует новое пространство, ибо изображенная на рис. 11.1 а двумерная искривленная поверхность — это все, что имелось. Область вне поверхности лишь артефакт неадекватной картинки, которая не может изобразить U-образную вселенную иначе как погруженной в наш трехмерный мир. Червоточина создает новое пространство и потому прокладывает новую пространственную территорию.

РРёСЃ. 11.1. Р°) В«U-образная» вселенная, РІ которой достичь РѕРґРЅРѕРіРѕ конца СЃ РґСЂСѓРіРѕРіРѕ можно лишь после длительного космического путешествия, Р±) Ткань пространства рвется, Рё РґРІР° конца червоточины начинают вытягиваться, РІ) Два конца червоточины соединяются, образуя новый РјРѕСЃС‚ — «срезая путь» между РґРІСѓРјСЏ концами вселенной

Существуют ли червоточины во Вселенной? Этого не знает никто. И если они действительно существуют, неясно, могут ли они быть только микроскопической формы, или перекрывать обширные области пространства, как в фантастических фильмах. Существование червоточин в реальном мире во многом определяется тем, возможен ли разрыв структуры пространства.

Другой СЏСЂРєРёР№ пример того, как ткань пространства может растягиваться РґРѕ предела, дают черные дыры. РќР° примере СЂРёСЃ. 3.7 РјС‹ видели, что сильнейшее гравитационное поле черной дыры РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ Рє настолько сильной искривленности пространства, что РѕРЅРѕ выглядит проколотым РІ центре черной дыры. Р’ отличие РѕС‚ червоточин, есть веские экспериментальные свидетельства РІ пользу существования черных дыр, Рё РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ том, что РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґРёС‚ РІ центре дыры, приобретает конкретный научный характер. Р’ экстремальных условиях внутри черной дыры уравнения общей теории относительности становятся неприменимыми. РџРѕ мнению некоторых физиков, РІ центре черной дыры действительно имеется РїСЂРѕРєРѕР», РЅРѕ РјС‹ ограждены РѕС‚ этой космической «сингулярности» горизонтом событий, РЅРµ позволяющим даже свету вырваться РёР· гравитационной ловушки. Такие соображения привели Роджера Пенроуза РёР· Оксфордского университета Рє «гипотезе космической цензуры», согласно которой подобные пространственные особенности возможны лишь РІ местах, тщательно скрытых РѕС‚ наших глаз пеленой горизонта событий. РЎ РґСЂСѓРіРѕР№ стороны, РґРѕ открытия теории струн некоторые физики считали, что корректное объединение квантовой теории Рё общей теории относительности «залатает» бросающиеся РІ глаза бреши РІ ткани пространства, сгладив его квантовыми поправками.

С открытием теории струн, органично связывающей квантовую теорию с гравитацией, появилась твердая почва для исследования этих вопросов. На сегодняшний день они окончательно не решены, но в последние годы были решены тесно связанные с ними вопросы. В этой главе мы покажем, что в теории струн впервые явно демонстрируется возможность разрыва ткани пространства при определенных физических явлениях (в некоторых отношениях отличных от явлений пространственных червоточин и черных дыр).


Глава 11. Разрывая ткань пространстваВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ 177