Разложение вектора по координатным осям
Глава 2. Элементы векторной алгебры
Векторы
Определение 1. Вектор – это отрезок, имеющий определенную длину и направление. Если А – начало вектора, В – его конец, то вектор обозначается символом или
.
Вектор называется противоположным вектору
. Вектор, противоположный вектору
, обозначается -
.
Определение 2. Длинойили модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается
или
. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается
. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через
.
Определение 3. Векторы и
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение 4. Два вектора и
называются равными (
=
), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Определение 5. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть и
- два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор
. От точки А отложим вектор
. Вектор
, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов
и
:
(рис. 1).
В
О А
Рис. 1.
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2).
А С
О В
Рис. 2.
Под разностью векторов и
понимается вектор
, такой, что
(рис.3).
А
О В
Рис.3.
Произведением вектора на число к называется вектор
, который имеет длину
, коллинеарен вектору
, имеет направление вектора
, если к > 0 и противоположное направление, если к < 0.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. =
, 4.
,
1. ( ) +
=
+
), 5.
.
2. ,
Разложение вектора по координатным осям
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy, Oz единичные векторы
соответственно (рис. 4).
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат:
.
Найдем проекции вектора на координатные оси.
Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Рис. 4 Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М1, М2, М3. Получим прямоугольный параллелепипед. Ясно, что . Проекцией вектора
на ось Ox является отрезок
, на Oy -
, на Oz -
.
Тогда вектор может быть представлен в виде
. Такое представление называется разложением вектора
по осям координат, или разложением по ортам.
Числа называются координатами вектора
. Пишут
= (
).
Зная координаты вектора , легко найти его модуль:
.
Если вектор составляет с осями координат углы
, то можно найти, что
.
Отсюда
.
Числа называются направляющими косинусами вектора
. Они связаны соотношением
.
Пусть даны два вектора = (
),
= (
), тогда:
1. ;
2. = (
);
3. =
4. Вектор коллинеарен вектору
тогда и только тогда, когда выполняется условие
, т.е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.
5. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz. Вектор
, начало которого находится в начале координат, а конец в точке М(x,y,z) называется радиусом-вектором точки М и обозначается
, причем
.
Рис. 5. Тогда если известны координаты точек , то
(рис. 5).
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.
Пример 1. Даны координаты вершин АВС: А(1;2;3), В(3;2;1), С(1;4;1). Показать, что АВС – равносторонний.
Решение: Найдем координаты векторов ,
,
. Получим
= (3-1, 2-2, 1-3) = (2, 0, -2),
= (-2, 2, 0),
= (0, 2, -2). Вычислим длины данных векторов. Имеем
=
,
=
,
=
. Так как
=
=
, то АВС – равносторонний.