Теорема. Любой вектор пространства однозначно представим в виде линейной комбинации трёх линейно независимых векторов , , этого пространства, т.е. .
Доказательство. Т.к. четыре вектора ,
,
,
всегда линейно зависимы, то
, (34)
где среди коэффициентов левой части равенства имеются отличные от нуля. Заметим, что . В противном случае имели бы соотношение
противоречащее условию теоремы о линейной независимости векторов ,
,
. Перепишем равенство (34) в виде
Или (35) где
,
,
.
Возможность представления вектора линейной комбинацией базисных векторов доказана. Теперь докажем однозначность такого представления. Допустим, что существует другое представление вектора
в виде комбинации векторов
,
,
:
(36)
Тогда вычитая из равенства (35) равенство (36), получим
.
Если среди чисел ,
,
имеются отличные от нуля, то векторы
,
,
линейно зависимы, а это невозможно. Значит
,
,
, откуда следует, что
,
,
.
Доказанная теорема утверждает, что любые три линейно независимых вектора образуют базис пространства . Таким образом, выражение
представляет собой разложение произвольного вектора
по базису
,
,
. Коэффициенты
в разложении вектора
по базису
,
,
называются координатами вектора
в этом базисе. Всякий вектор
, имеющий своими координатами в некотором базисе числа
, будем записывать в виде
. Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называется размерностью этого пространства. Размерность пространства
обозначается через
(i =1,2,3).Размерность пространства совпадает с числом базисных векторов этого пространства, т.е.
. В дальнейшем будем считать, что базисные векторы ориентированы. Так, например, система координат называется правой, если вращение от оси
к оси
в ближайшую сторону видно с положительного направления оси
, совершающимся против часовой стрелки, и левой – если по часовой стрелке.
Базис, состоящий из взаимно перпендикулярных единичных векторов, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса называются ортами и обозначаются ,
,
или
. Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трёх пересекающихся в точке
взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс
, вторая – осью ординат
, третья – осью аппликат
; точка
- начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов
,
,
, направленных соответственно по осям
,
и
. Векторы
,
,
называются базисными ортами. Координатами
,
,
вектора
называют его проекции на координатные оси
,
и
и пишут
. Координаты вектора являются коэффициентами его разложения по ортам:
Вектор , направленный из начала координат в точку
называется радиусом-вектором точки
. Его проекции на оси координат равны координатам точки
, т.е.
.