Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы и необходимо: 1)отложить от произвольной точки А вектор = и вектор = ; 2) достроить данную конструкцию до параллелограмма с диагональю АD; 3) + = + =

Правило многоугольника

Чтобы сложить векторы , и необходимо: 1)отложить от произвольной точки А вектор = ; 2)отложить от точки В вектор = ; 3) отложить от точки С вектор = ; 4) + + = + =

Вычитание векторов

 

Способ №1

Чтобы вычесть из вектора вектор необходимо: 1)отложить от произвольной точки А вектор = и вектор = ; 3) - = - =

Лист №2 Векторы

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Лемма. Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число k, что = k· .

Дано : и коллинеарные Доказать: = k· .

Доказательство:

Случай 1. Пусть Возьмем число k = , тогда

а) , значит и k· сонаправлены

б) ,

тогда по определению произведения вектора на число = k· .

Случай 2. Пусть Возьмем число k = - , тогда

а) , значит и k· сонаправлены

б) ,

тогда по определению произведения вектора на число = k· .

Ч. т. д.

 

а)Пусть существует ещё одно разложение, т. е. = х₁ · + у₁ · , но

= х · + у · ,

б) х₁ · + у₁ · = х · + у ·

х₁ · - х · + у₁ · - у · = ,

(х₁ – х) · + (у₁ – у) · = ,

в)Если х₁ – х 0, то = и и коллинеарны, что противоречит условию.

г)Если у₁ – у 0, то = и и коллинеарны, что противоречит условию.

Следовательно х₁ – х = 0 и у₁ – у = 0 т.е. х₁ = х и у₁ = у и разложение единственно.

Ч.т.д.

Координаты вектора.

Пусть векторы и такие, что: 1) их начало совпадает с началом координат 2) их направления соответственно совпадают с положительными направлениями осей Ох и Оу в декартовой системе координат 3) , тогда будем называть их координатными векторами

и - не коллинеарны, а значит любой вектор можно разложить по координатным векторам и единственным образом, т.е. = х · + у · ,

Числа х и у (коэффициенты разложения ) называют координатами вектора

Записывают: .

Коллинеарные векторы. СонаправленныеПротивоположно направленные Длины равны Равные векторыПротивоположные векторы Откладывание вектора от данной точки. -Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А. -От любой точки можно отложить вектор и только один.

Чтобы отложить вектор от точки М необходимо: 1)через точку М провести прямую ММ1, параллельную прямой АВ; 2)на прямой ММ1 отложить отрезок МК, равный отрезку АВ так, чтобы

Сложение векторов.

Сложение двух векторов

Правило треугольника

 

Чтобы сложить векторы и необходимо: 1)отложить от произвольной точки А вектор = ; 2)отложить от точки В вектор = ; 3) + = + =

Способ №2

Чтобы вычесть из вектора вектор необходимо: 1)отложить от произвольной точки А вектор = ; 2) отложить от точки В вектор = - ; 3) - = + (- ) = + =

 

Умножение вектора на число

 

 

Определение. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

 

Произведением нулевого вектора на любое число является нулевой вектор.

=3 ; = ; =0· ; = -2 ;

 

Законы сложения векторов. 1. + = + . 2. ( + ) + = + ( + ).

Законы умножения вектора на число. Для любых чисел k и n и любых векторов и справедливы равенства: (k · n) =k · (n ); (k + n) = k + (n ); k · ( + )= k + k .

Определение: Если для векторов , и выполняется равенство

= х · + у · , где х и у некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и . ( х и у называют коэффициентами разложения)

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определены единственным образом.

Дано: , неколлинеарные и . Доказать: а) = х · + у · б) х и у единственны Доказательство: 1)если и коллинеарны, то по Лемме = k· или = х · + 0 · . 2) если и коллинеарны, то по Лемме = k· или = 0 · + у · .

3) если не коллинеарен ни , ни , то

а)отложим от некоторой точки М векторы = , = , = . б)построим РК // МВ и РН // МА, и пусть РК МА = А1 и РН МВ =В1. в) , значит по Лемме существует у, так что = у· = у· , значит по Лемме существует х, так что = х· = х·

г) = = + = х· + у· ( по правилу параллелограмма).

Докажем, что х и у единственны.

 

Основные правила для координат векторов.

1.Координаты равных векторов равны.

Если = и , то х₁ = х₂ и у₁= у₂.

 

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Если = + , и , то

 

3. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Если = - , и , то

 

4. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

 

Если = k· и то .

 

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Рассмотрим некоторую точку М(х; у) в декартовой системе координат. Построим вектор ,где точка О – начало координат, тогда вектор называют радиус-вектором точки М и

 

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Дано : А(х1;у1) и В(х2;у2). Доказать: Доказательство: 1) , - радиус-векторы точек А и В; 2) = - , значит