Полиномиально распределенные лаги Алмон

 

При использовании преобразования Койка для уравнения (11.1) на коэффициенты регрессии накладываются достаточно жесткие ограничения. Предполагается, что «веса» коэффициентов при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии. В ряде случаев такое предположение весьма уместно, в некоторых других оно не выполняется. Встречаются ситуации, когда значения лаговой объясняющей переменной за 3- 4 периода от момента наблюдения оказывают на зависимую переменную большее влияние, чем текущее или предшествующее ему значение объясняющей переменной (b₃, b₄ > b₀, b₁). Pacnpeделённые лаги Ш. Алмон (Shirley Almon) позволяют достаточно гибко моделировать такие изменения.

В основе модели Алмон лежит предположение, что «веса» коэффициентов b_i в модели (11.1) могут аппроксимироваться (приближаться) полиномами определенной степени от величины лага:

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i² + …+ a_m*i^m. (11.13)

Это позволяет, например, отразить ситуации, изображенные на рисунке 11.2.

а б в

Рис. 11.2. Виды зависимостей в модели Ш. Алмон

Например, на рисунках 11.2а, 11.2б это может быть квадратичная зависимость:

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i². (11.14)

На рисунке 11.2,в это может быть полином третьей либо четвертой степени:

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i² + a_3*i³, (11.15)

b_i = a₀ + a_1*i + a_2*i² + a_3*i³ + a_4*i⁴. (11.16)

Для простоты изложения схемы Алмон положим, что b_i подчиняется зависимости (11.14). Тогда (11.1) может быть представлено в виде:

y_t = a + S(a₀ + a₁×i + a₂×i²)·x_t-i + e_t=

= (11.17)

Положив

, , ,

имеем

y_t = a + a0×z_t0 + a1×z_t1 + a2×z_t2 + e_t. (11.18)

Значения a, a0, a1, a2 могут быть определены по МНК. При этом случайные отклонения e_t удовлетворяют предпосылкам МНК. Коэффициенты b_i определяются из соотношения (11.14). Отметим, что для применения схемы Алмон необходимо вначале определиться с количеством лагов k. Обычно это количество находится подбором, начиная с «разумного» максимального, постепенно его уменьшая. После определения k необходимо подобрать степень m полинома (11.13). Обычно здесь используется следующее правило: степень полинома должна быть, по крайней мере, на единицу больше количества точек «экстремума» (точек, разделяющих интервалы возрастания и убывания) в зависимости b_i = b×(t–i). Однако с ростом степени полинома повышается риск наличия неучтенной мультиколлинеарности в силу специфики построения z_ti. Это увеличивает стандартные ошибки коэффициентов a_i в соотношениях, аналогичных (11.18).

Рассмотрим применение схемы Алмон при степени многочлена m = 2 и количестве лагов k = 4

y_t = a + b₀×x_t +b₁×x_t-1 + b₂×x_t-2 + b₃×x_t-3 + b₄×x_t-4 + e_t

Подставим полином второй степени (11.14) в это выражение

y_t = a + S(a₀ + a₁×i + a₂×i²)×x_t-i

.

Последнее выражение позволит применить МНК к соответствующим переменным y_t, z_t0, z_t1, z_t2 и найти оценки (приближения) коэффициентов a, a₀ ,a₁, a₂. Далее находим b₀ = a₀, b₁ = a₀ + a₁×1 + a₂×1, b₂ = a₀ + a₁×2 + a₂×4, b₃ = a₀ + a₁×3 + a₂×9, b₄ = a₀ + a₁×4 + a₂×16.

 

 

11.6. Задание на лабораторную работу № 13 «Оценка моделей с распределёнными лагами с помощью схемы Алмон»

 

Имеются статистические данные по динамике объемов ВВП США Y и валовых внутренних инвестиций в экономику США X, приведенные в таблице 2.

Таблица 2

Год	Y	X	Zi0	Zi1	Zi2
	1931,3	296,4
	1973,2	290,8
	2025,6	289,4
	2129,8	321,2
		343,3	1541,1		8838,4
	2343,3	371,8	1616,5	3017,1	8885,5
	2473,5		1738,7	3179,6	9266,2
	2622,3		1887,3	3471,3	10129,1
	2690,3	418,6	1984,7	3752,6
		440,1	2081,5	4020,8	11836,4
	2877,1	461,3		4243,3	12664,5
	2875,8	429,7	2187,7	4349,3	12997,1
	2965,1	481,5	2231,2		12933,4
	3107,1	532,2	2344,8	4485,2	13393,6
	3268,5	591,7	2496,4	4629,5	13706,3
	3248,1		2578,1	4819,4	13929,2
	3221,7	437,6			15403,6
	3380,8	520,6	2625,1	5427,5	16450,1
	3533,2	600,4	2693,3	5391,6	16625,2
	3703,5	664,6	2766,2	5126,4	15309,2
	3796,8	669,7	2892,9	5177,6	14753,2
	3776,3	594,4	3049,7	5882,5	17061,3
	3843,1	631,1	3160,2	6329,2
	3760,3	540,5	3100,3	6487,4	19669,6
	3906,6	599,5	3035,2	6264,7	19129,7
	4148,5	757,5		5951,4	17951,8
	4279,8	745,9	3274,5	6102,4	18117,6
	4404,5	735,1	3378,5	6221,4	17819,4
		749,3	3587,3	6897,4	20128,2
	4781,6	773,4	3761,2	7487,2	22522,8
	4836,9	789,2	3792,9	7460,9	22320,9
	4884,9	744,5	3791,5	7524,3	22388,1
	4848,4	672,6		7640,3	22850,7

 

Шаг 1. Для этих данных примените схему Алмон при степени многочлена m = 2 и количестве лагов k = 4.

Шаг 2. Примените схему Алмон при степени многочлена m = 3 и количестве лагов k = 4.

Шаг 3. Определите, какое из многочленов (для к = 4) наиболее точно приближает Y_t.