III. Задачи на составление дифференциальных уравнений
Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Составление дифференциального уравнения по условию задачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями.
В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений - за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений s и t, хотя они фактически учтены в силу того, что
.
Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:
.
При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:
1) к определению его отдельных моментов;
2) к установлению общего закона его хода.
Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными — дифференциальным уравнением; закон общего хода процесса выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса, но уже без дифференциалов этих величии.
Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения технических задач с применением теории обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:
1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.
2.Составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса.
3.Интегрирование составленного дифференциального уравнения и определение общего решения этого уравнения.
4.Определение частного решения задачи на основании данных начальных условий.
5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.
6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число
вое определение искомых величии.
7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.
Как и при составлении алгебраических уравнений, при решении прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.
Рассмотрим процесс решения следующих задач:
Задача 3.1.
Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 1000 до 600 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 250. Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 300?
Решение:
В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:
.
где Т – температура хлеба;
t – температура окружающего воздуха ( в нашем случае 250);
k – коэффициент пропорциональности;
- скорость охлаждения хлеба.
Пусть - время охлаждения.
Тогда, разделяя переменные, получим:
,
или для условий данной задачи :
.
Виду того, что
интегрируя, получаем:
или
Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:
Так как
,
то окончательно
. (1)
Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100о.
Отсюда
или С=75.
Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при
мин, Т=60о.
Получаем:
и .
Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:
. (2)
Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30о:
, или
.
Окончательно находим:
мин.
Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30оС.
Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.
Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду:
, (1)
где F(x)- площадь сечения тела на расстоянии х,
k – коэффициент теплопроводности.
Здесь (2)
Рис. 8
где l – длина трубы в см,
х – радиус трубопровода в см.
Таким образом, после разделения переменных дифференциальное уравнение примет вид:
(3)
Интегрируя обе части равенства (3), находим:
или (4)
Разделив почленно уравнения второе на первое, получим:
.
Отсюда закон распределения температуры внутри изоляции:
.
Из первого уравнения системы(4) при =100 см имеем:
Количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно
кал.