V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
будем решать 2-мя способами.
5.1. Метод вариации произвольной постоянной.
1 шаг. Решаем ОЛДУ:
2 шаг. Считаем 
; 
.
Подставляем это решение в исходное НЛДУ и получаем систему уравнений для определения 
и 
:
Найдя 
и 
решаем для определения 
и 
полученные дифференциальные уравнения.
3 шаг. Подставляем найденные и в решение и получаем общее решение НЛДУ.
Пример 5.1: Решить уравнение 
.
Решение:
1 шаг. Решаем уравнение 
.
Его характеристическое уравнение 
.
Отсюда 
И решение ОЛДУ имеет вид 
.
2 шаг. Считаем , .
Имеем систему:
.
Решаем эту систему относительно и :
.
Т.о. мы получим 
.
Решая эти дифференциальные относительно 
уравнения, получим
.
3 шаг. 
.
Отсюда общее решение НЛДУ:
.
Пример 5.2: Метод подбора частного решения НЛДУ.
Метод основан на известном утверждении о том, что общее решение НЛДУ есть сумма общего решения ОЛДУ и некоторого частного решения 
НЛДУ.
Общее решение ОЛДУ мы уже умеем исходить.
Частные же решения НЛДУ ищутся по виду 
на основе следующих рецептов:
«Правило угадывания частного решения»
Форма f(x):
| Форма частного решения:
|
1. Угаданное у* надо умножить на х, если
а) 
- это один из корней характеристического уравнения и 
;
в) 
- это один из корней характеристического уравнения и ;
с) 
и 
.
2. Угаданное у* надо умножить на х2, если
а) - кратный корень характеристического уравнения и ;
в) - кратный корень характеристического уравнения и ;
Обобщая сказанное, можно для 
рекомендовать подбор частного решения в виде
,
где k – кратность корня характеристического уравнения;
- многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов 
.
Пример 5.3.:Решить 
Решение:1 шаг. Решаем однородное уравнение
Отсюда 
2 шаг. Так как не является корнем характеристического уравнения, то угадываем .
Подставляя его в исходное уравнение, получим
.
Приравнивая коэффициенты левой и правой частей, находим
Отсюда 
; 
.
3 шаг. Искомое решение имеет вид
.
Пример 5.4.Решить уравнение 
.
Решение: 1 шаг. То же, что и в 2.1.5.
2 шаг. Поскольку в правой части стоит 
, т.е. 
, то мы применяем правило 1.в: -1 также является корнем характеристического уравнения. В связи с этим принимаем
.
Подставляем его в исходное уравнение
.
Упрощая, находим: 
. Отсюда 
3 шаг. Пишем решение
Пример 5.5.Найти решение уравнения 
проходящее через точку: 
Решение: 1 шаг. Решаем однородные уравнения
Отсюда 
.
2 шаг. Поскольку и в корнях 
и под знаком cos в правой части уравнения стоит коэффициент 2, то мы имеем случай 1.с. Поэтому
.
Найдем производные 
.
Подставляем это в исходное уравнение и получаем
.
Отсюда 
и 
.
3 шаг. Общее решение, очевидно, будет
.
Найдем с1 и с2 из начальных условий:
Искомое частное решение имеет вид 
.
Пример 5.6. Решить уравнение 
Решение: 1 шаг. Решаем однородное уравнение:
т.к. корень кратный.
2 шаг. Так как является кратным корнем характеристического уравнения, то ищем 
Подставляем это в исходное уравнение
Отсюда 
.
3 шаг. Общее решение примет вид 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА:
№ 1 Исследовать уравнение на наличие особых решений:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 