Задачи для самостоятельного решения
1. В цепи, содержащей источник напряжения 
с внутренним сопротивлением 
и сопротивлением нагрузки 
, измеряется падение напряжения на сопротивлении вольтметром 
с внутренним (входным) сопротивлением 
.
Определить абсолютную и относительную погрешности измерения за счет конечного значения . Классифицировать измерение и погрешность. Определить поправку, необходимую для устранения погрешности.
2. Методом амперметра-вольтметра по приведенной схеме измеряется сопротивление 
. Показания приборов 
, 
, 
.
Определить результат измерения, абсолютную и относительную погрешности измерения, исправленный результат измерения.
3. Известно, что для случайной погрешности измерения силы тока, равновероятно распределенной с нулевым математическим ожиданием, границы доверительного интервала при доверительной вероятности 
равны 
.
Определить максимально возможные границы интервала погрешности и среднеквадратическое отклонение погрешности.
4. Сопротивление 
измеряется мостовым методом.
В четырехплечем мосту номинальные значения резисторов 
. При равновесии моста сопротивление образцового резистора 
. После перемены 
местами (для устранения погрешности за счет отклонения реальных значений 
и 
от их номинальных значений) равновесие моста достигается при 
.
Определить действительные значения и соотношения 
, классифицировать измерение, метод измерения и метод устранения погрешности.
5. При многократных измерениях сопротивления резистора с объемом выборки 
, получена оценка СКП отдельного измерения 
. Определить границы доверительного интервала погрешности результата измерений 
при доверительной вероятности 
. Записать результат измерения.
6. При измерении напряжения милливольтметром с СКП 
по результатам 10 наблюдений получены границы доверительного интервала погрешности 
. Сколько потребуется наблюдений для обеспечения такой же погрешности при той же доверительной вероятности при использовании другого прибора с СКП 
?
7. При измерении силы тока получено: =10,2 мА; составляющие случайной погрешности S1=0,5 мА, S2=0,6 мА, S3=0,4 мА; составляющие систематической погрешности 1=1 мА, 2=0,5 мА. Записать результаты измерения при Рд=0,9.
Обработка результатов измерений
Примеры решения задач.
Задача 1
Измерения напряжения производятся тремя вольтметрами с одинаковым пределом шкалы 
. Все три вольтметра при измерении показали один и тот же результат 
. Классы точности приборов различны и обозначены следующим образом: 2,0; ; 2,0/1,0.
Определить погрешности измерения напряжения каждым вольтметром и записать результаты измерений.
Решение задачи.
Для первого вольтметра абсолютная основная погрешность (границы интервала погрешности) определяется выражением 
. Результат измерения запишется как 
.
Для второго вольтметра погрешность 
. А результат 
.
Для третьего вольтметра относительная погрешность
( 
и 
имеют размерность %). Абсолютная погрешность 
. Результат измерения 
.
Задача 2.
При измерении напряжения вольтметр класса точности 
с пределом шкалы 
показал 
. Измерение проводилось при температуре 
и напряжении питания прибора 
.
Из нормативно-технической документации на прибор известно: нормальные условия эксплуатации прибора 
; дополнительная температурная погрешность не превышает половины основной при изменении температуры на каждые 
; дополнительная погрешность за счет напряжения питания не превышает основной при изменении напряжения питания на каждые 
.
Записать результат измерения.
Решение задачи
Запись результата измерения должна содержать сам результат, погрешность результата и вероятность этой погрешности. Результат измерения известен, следовательно, необходимо определить общую (полную, эксплуатационную) погрешность измерения. Она будет состоять из основной погрешности (определяется классом точности) и двух дополнительных погрешностей (за счет отклонения температуры и напряжения питания от нормальных значений).
Основная погрешность, согласно обозначению класса точности, 
.
Дополнительная температурная погрешность
.
Здесь коэффициент влияния 
(из условия – «половины основной»), 
(из условия – «на каждые »). Аналогично, дополнительная погрешность за счет напряжения питания 
.
Далее необходимо просуммировать все эти составляющие погрешности, чтобы получить общую погрешность измерения. Известно, что основная погрешность, определяемая паспортными характеристиками прибора, представляет собой границы интервала погрешности и считается распределенной равновероятно. В этом случае, согласно правилам суммирования погрешностей, границы интервала полной погрешности определяются выражением 
, где 
- коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности 
, а 
- границы интервалов отдельных составляющих погрешности. Доверительная вероятность нам в условии задачи не задана, следовательно необходимо воспользоваться известными рекомендациями, считая, что данные измерения представляют собой обычные технические электрорадиоизмерения. Тогда рекомендуемое =0,95 и 
.
Применительно к нашей задаче полная погрешностьизмерения 
или
.
Результат измерения, с учетом правил округления, 
Задача 3.
При многократных измерениях сопротивления резистора получены следующие результаты: 10; 10,1; 10,2; 9,8; 9,9; 10; 9,9; 10,1; 10,8; 10 Ом.
Записать результат измерения при доверительной вероятности 0,95.
Решение задачи.
Подсчитываем количество наблюдений: 
. Так как при 
невозможно идентифицировать закон распределения, то этот пункт из стандартного алгоритма обработки многократных измерений опускаем. Используем упрощенный алгоритм обработки, который начинается с пункта:
1). Удаление промахов. Условие промаха 
где 
-подозрительный на наличие промаха результат измерения из полученной выборки; 
- коэффициент допускаемых нормированных отклонений (границы интервала цензурирования), выбирается при заданных и 
из таблицы 3 Приложения. Определяем для нашей задачи 
; 
.
Зададимся доверительной вероятностью =0,95 (рекомендуется брать 0,9-0,99) и из таблицы 3 Приложения найдем 
. Промахи удаляют итеративно, по одному. Начинают проверку 
с величины, наиболее отстоящей от 
. В нашей задаче это =10,8. Тогда 
. Условие промаха выполняется, то есть =10,8 - промах. Его удаляем из ряда многократных измерений. Теперь 
.Продолжаем проверку на наличие промахов. Пересчитываем вновь значения 
и 
. Опять находим наиболее удаленные от значения . Это 9,8 и 10,2, причем они равноудалены от . Проверяем, являются ли они промахами. По таблице определяем новые границы цензорского интервала 
. Условие промаха 
не выполняется, то есть =10,2, и =9,8 (т.к. цензорский интервал симметричен) не являются промахами. Все остальные расположены к еще ближе, следовательно, тем более не являются промахами, их индивидуальная проверка нецелесообразна.
2). Результат измерения, погрешность. За результат измерения принимается среднее арифметическое ряда наблюдений без промахов =10 Ом. Границы доверительного интервала погрешности 
. Здесь 
- коэффициент Стьюдента, выбирается из таблицы 4 Приложения. В нашем случае 
. Тогда 
. Результат измерения в соответствии с правилами представления результата запишем следующим образом: 
Задача 4.
Определить результат и погрешность косвенного измерения напряжения 
по результатам прямых измерений: 
. 
- измерено вольтметром с пределом шкалы 
, класса точности 
= 1,0. 
измерено амперметром класса точности 
с пределом шкалы 
. Записать результат измерения.
Решение задачи.
Известно, что результат косвенных измерений определяется представленной функциональной зависимостью при подстановке в нее результатов измерений аргументов. В нашем случае 
.
В общем виде погрешность косвенного измерения 
где - аргументы функции 
, 
- их абсолютные погрешности, 
- измеряемая косвенным образом величина, 
- частные производные функции по соответствующим аргументам.
Определим абсолютные погрешности аргументов заданной зависимости: 
, 
, 
.
Частные производные: 
, 
, 
, 
, 
.
Так как погрешности аргументов заданы границами интервалов, которые определены, в том числе, и с помощью измерительных приборов, то можно считать, что эти погрешности распределены равновероятно. Тогда, в соответствии с правилами суммирования погрешностей, общая погрешность при заданной доверительной вероятности 
может быть определена выражением 
. Величина доверительной вероятности в условии задачи не указана. Необходимо воспользоваться известными рекомендациями, в которых для технических электрорадиоизмерений применяется =0,95. Тогда 
Запишем результат измерения с учетом правил округления
Задача 5.
Емкость 
определена по результатам прямых измерений 
. Известно, что неисключенные систематические погрешности 
, а среднеквадратические отклонения случайных погрешностей, распределенных по нормальному закону, - 
, коэффициент корреляции 
.
Записать результат измерения.
Решение задачи.
Результат косвенного измерения определяется подстановкой результатов прямых измерений аргументов в указанную функциональную зависимость, т.е.
.
Так как погрешности аргументов содержат и систематическую, и случайную составляющие, то для нахождения общей погрешности измерения необходимо сначала просуммировать отдельно эти погрешности по группам.
Согласно правилам суммирования погрешностей суммарная систематическая погрешность косвенного измерения при доверительной вероятности 
.
Для нашей задачи при принятой для технических измерений доверительной вероятности =0,95 
Среднеквадратическое отклонение систематической погрешности 
.
Суммарная случайная погрешность в общем случае определяется выражением: 
Для нашей задачи
Границы доверительного интервала случайной погрешности 
. Здесь 
- коэффициент нормального распределения (согласно условию задачи случайные погрешности 
и 
распределены нормально, следовательно, и суммарная случайная погрешность также распределена нормально).
Для определения общей погрешности найдем соотношение 
. Так как 
, то в соответствии с правилами суммирования погрешностей общая погрешность определится как 
, где
,
. Тогда
.
Результат измерения можно записать в следующем виде
Задача 6.
Частота 
измеряется косвенно в соответствии с выражением 
. Известно, что относительные случайные, нормально распределенные, погрешности измерения величин 
и 
соответственно 
. Определить значение относительной погрешности 
.
Решение задачи
По определению относительная погрешность 
. Так как доверительные вероятности, при которых оценивались интервалы погрешностей 
и 
в условии задачи не указаны, то можно считать, что эти вероятности одинаковы. Тогда для независимых нормально распределенных случайных погрешностей можно напрямую суммировать границы интервалов погрешностей в соответствии с выражением
Относительная погрешность
