Декартовы координаты. Координаты вектора, действия над векторами, заданными своими координатами.
Аффинная (декартова) система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных (т.е. линейно неза-висимых) векторов
. Векторы
называются базисными векторами (также говорят, что
образуют базис). Векторы
определяют две
Рис. 4. координатные оси Ох1 и Ох2 и являются единичными векторами этих осей (рис. 4).
Система координат обозначается через или через Ох1х2.
Пусть М – какая-нибудь точка плоскости; обозначим через и
проекции точки М соответственно на оси координат Ох1 и Ох2 (рис.5). Длины векторов
называются соответственно первой и второй координатой точки М.
![]() |

Рис.5. Рис.6.
Любая пара чисел х1, х2 однозначно определяет точку М; точка М с координатами х1, х2 обозначается так: М(х1, х2 ).
Координаты произвольного вектора относительно базиса
(относительно базисных векторов
) называются координатами вектора
относительно системы координат
; они являются проекциями вектора
на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 6). Вектор
с координатами х1, х2 обозначается так:
; тогда
. (1)
Координаты любой точки М в данной системе координат – это координаты вектора в этой системе координат (
называют радиус-вектором точкиМ).
Два вектора и
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
Если , то для координат х1, х2 вектора
имеем
.
Афинная система координат в пространстве строится аналогично с очевидными изменениями.
Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает выбор одной определенной единицы длины (масштаба). После того, как масштаб выбран, прямоугольная система координат определяется (как частный случай аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы ( на плоскости;
в пространстве) были взаимно перпендикулярными ортами (векторы
называются основнымиилибазисными ортами прямоугольной системы координат).
Любой вектор может быть разложен по базисным ортам
на плоскости (
в пространстве) следующим образом:
. (2)
Векторы называются компонентами вектора
по осям координат.
Коэффициенты разложения x, y, z являются проекциями вектора на соответствующие оси координат.
Проекции вектора
на три оси координат называются координатами вектора. Обозначение:
=
.
Длина вектора вычисляется по формуле:
. (3)
Направление вектора определяют его направляющие косинусы:
(4)
где .
Очевидно, что . (5)
Таким образом, . (6)
Если дано несколько векторов своими координатами:
,
то координаты суммы этих векторов равны суммам одноименных координат слагаемых векторов, т.е.
. (7)
Координаты разности двух векторов равны разностям одноименных координат этих векторов, т.е. если , то
. (8)
Координаты произведения вектора на скаляр
равны произведениям координат вектора на тот же скаляр:
. (9)
Условие коллинеарности двух векторов:
. (10)
Если даны две точки , то координаты точки
, делящей вектор
в отношении
, т.е.
, опреде-ляются так:
. (11)