Стационарные случайные процессы
Случайная функция X(t)называется строго стационарной (стационарной в узком смысле), если ее n-мерные законы распределения инвариантны относительно сдвига во времени на величину t.
Если случайная функция строго стационарна, то ее математическое ожидание и дисперсия постоянны, т.е. не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени, т.е. от t. Обратное утверждение в общем случае неверно. Случайный процесс X(t)называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов:
mx = const , Dx =const , Kx(t1,t2) = Kx(t2 - t1).
Корреляционная функция стационарной в широком смысле случайной функции обозначается 
и обладает следующими свойствами:
1) kx(-t) = kx(t);
2) | kx(t)| £ Dx;
Если X(t) – стационарная в широком смысле дифференцируемая функция и 
то Y(t) – также стационарная в широком смысле случайная функция, причем
(9.6)
Для дифференцируемости стационарной в широком смысле случайной функции необходимо и достаточно существование второй производной корреляционной функции при t = 0.
Важнейшим свойством стационарных процессов является свойство эргодичности, когда средняя случайного процесса по множеству реализаций равна средней по одной реализации на бесконечном промежутке времени.
Средней по реализации на конечном промежутке времени [0,T] называется число, определяемое выражением 
Стационарный случайный процесс называется эргодическим относительно математического ожидания, если
.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим относительно корреляционной функции, если
Стационарный в широком смысле случайный процесс, заданный каноническим разложением вида
(9.7)
где 
называется случайным процессом с дискретным спектром. Корреляционная функция такого процесса имеет вид
а дисперсия равна сумме дисперсий отдельных гармоник на частотах
: 
.
Стационарный случайный процесс называется случайным процессом с непрерывным спектром, если существует такая действительная неотрицательная функция Sx(w), определенная при всех wÎR и называемая спектральной плотностью, что
; 
. (9.8)
Как видно, корреляционная функция и спектральная плотность стационарного процесса с непрерывным спектром связаны между собой взаимно обратными косинус-преобразованиями Фурье. В комплексной форме они имеют вид:
, 
. (9.9)
Дисперсия такого процесса равна
. (9.10)
Условия неотрицательности 
и четности 
являются необходимыми условиями стационарности в широком смысле случайного процесса X(t).
Нормированной спектральной плотностью называется отношение спектральной плотности к дисперсии процесса:
(9.11)
Стационарная случайная функция с постоянной спектральной плотностью называется стационарным белым шумом. Нормированная спектральная плотность стационарного белого шума со спектром частот 
имеет вид
Если X(t) – стационарный в широком смысле процесс с спектральной плотностью
то он называется низкочастотным белым шумом.
Выясним, является ли низкочастотный белый шум дифференцируемым. Найдём корреляционную функцию этого процесса.
Её первая и вторая производные соответственно равны:
Вычислим модуль второй производной при 
Применяя к первой дроби правило Лопиталя и переходя к пределу, получим:
Так как 
то процесс дифференцируем.
На практике часто используются такие характеристики стационарного процесса, как эффективная ширина спектра 
и средний интервал корреляции (эффективная длительность корреляционной функции) 
Они находятся по формулам:
(9.12)
(9.13)
Геометрически эффективная ширина спектра 
равна основанию прямоугольника с высотой 
площадь которого равна площади фигуры под кривой 
при 
, а средний интервал корреляции 
равен основанию прямоугольника с высотой 
площадь которого равна площади фигуры под кривой 
при 
.
Справедливо так называемое соотношение неопределённости 
смысл которого заключается в следующем: чем уже ширина спектра стационарного процесса, тем больше интервал корреляции его сечений, и наоборот.
9.35.Корреляционная функция случайного процесса X(t) имеет вид 
Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра 
и средний интервал корреляции 
¢ Найдём спектральную плотность:
Нетрудно видеть, что 
- чётная функция с единственной точкой максимума при 
.
Эффективная ширина спектра в данном случае равна 
, средний интервал корреляции 
Как видно, 
- соотношение неопределённости обращается в равенство. £
9.36.На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс с математическим ожиданием 
и корреляционной функцией 
. Дифференцируем ли данный процесс в среднеквадратичном?
9.37.Задана корреляционная функция 
случайного процесса X(t). Показать, что взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) и 
может быть представлена в виде 
|
9.38.На вход радиотехнической цепи, состоящей из последовательно соединённых дифференцирующих устройств и сумматора, поступает случайный стационарный сигнал X(t) c 
и корреляционной функцией 
(рис.9.2). Найти 
.
9.39.Является ли эргодической по отношению к математическому ожиданию синусоидальная стационарная случайная функция определённой частоты 
9.40.Является ли эргодическим относительно корреляционной функции случайное гармоническое колебание 
где a - постоянная амплитуда, а 
- равномерно распределённая на отрезке 
случайная величина?
9.41.Случайный процесс задан следующим образом: 
где 
- независимые случайные величины, принимающие с равной вероятностью лишь два возможных значения +I и -I. Найти корреляционную функцию процесса и убедиться, что 
стационарен в широком смысле, но не является стационарным в узком смысле.
9.42.Установить, дифференцируем ли стационарный случайный процесс, корреляционная функция которого имеет вид
9.43.Показать, что взаимная корреляционная функция 
стационарной случайной функции X(t) и её производной 
удовлетворяет условию 
9.44.Показать, что если стационарный случайный процесс X(t) дифференцируем, то он стационарно связан со своей производной. Найти 
где .
9.45.Пусть X(t) - произвольный случайный процесс, стационарный в широком смысле. Доказать «соотношение неопределённости». См. задачу 9.35.
9.46 – 9.50. Дана корреляционная функция стационарного случайного процесса. Найти его спектральную плотность.
9.46. 
9.47. 
9.48. 
9.49. 
9.50. 
9.51 – 9.54. Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса. Найти его корреляционную функцию.