Границя функції двох змінних

Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:

— аналітично (у вигляді формули), наприклад:

,

— таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

 

	у х

таблицею задана функція ;

— графічно:

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 1).

 

Рис. 1

Кожній парі чисел x та y відповідає точка площини Оxy. У точці проводимо пряму, перпендикулярну до площини Оxy, та позначаємо на ній відповідне значення функції z; дістаємо в просторі точку Q з координатами , яка позначається символом . Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, утворюють певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції .

Зауваження. На практиці побудувати графік функції важко, адже йдеться про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається.

Приклад. Графічне зображення функції є площина, яка проходить через точки (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) (рис. 2).

 

Рис. 2 Рис. 3

Графічне зображення функції є півкуля (рис. 3).

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — зображення за допомогою ліній рівня.

Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень.

Рівняння ліній рівня записують у вигляді .

Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на них функція, дістанемо наближене уявлення про зміну функції. Елементарний приклад зображення функції за допомогою ліній рівня є зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями рівня висоти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної місцевості.

Знаходження області визначення
функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.

Приклад. Знайти область визначення функції та надати їй геометричну інтерпретацію.

l 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

.

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на координатній площині, а саме: ; .

Рис. 4

3. Визначаємо за допомогою контрольних точок , розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 4).

Границя функції двох змінних

Означення. Число B називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі
теореми про границю суми, добутку та частки, які анало-
гічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.