Показательная функция, ее свойства и график.

Степенные функции, их свойства и графики.

Функции вида ( где - любое действительное число) называют степенными функциями.

Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях и имеет смысл степень .

Рассмотрим различные случаи в зависимости от показателя степени .

 

Ø Показатель - четное натуральное число.
1)
2)
3)функция четная, так как
4) убывает на , возрастает на
Ø Показатель - нечетное натуральное число.
1)
2)
3)функция четная, так как
4) возрастает на
Ø Показатель , где - натуральное число.
1) , кроме
2)
3) функция четная, так как
4) ) убывает на , возрастает на

 

 

Ø Показатель , где - натуральное число.
1) , кроме
2) , кроме
3) функция нечетная, так как
4) ) убывает на и .

 

Ø Показатель - положительное действительное нецелое число.
1) . 2) . 3) функция общего вида. 4) возрастает на .

 

Ø Показатель - отрицательное действительное нецелое число.
1) . 2) . 3) функция общего вида. 4) убывает на .

 

 

Показательная функция, ее свойства и график.

Вспомним основные свойства степени. Пусть , , - любые действительные числа. Тогда

 

В практике часто используются функции , ,

, и т.д., т.е. функция вида , где - заданное число, - переменная. Такие функции называются показательными. Это объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени – заданное число.

Определение. Показательной функциейназывается функция , где - заданное число, .

Свойства показательной функции:

1⁰. . (Это свойство следует из того, что степень , где , определена для всех )

2⁰. .

3⁰. Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если .(следует из свойств 8 и 9) .

Построим графики функции и , используя рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графику.

График функции проходит через точку и расположен выше оси Ох. Если и убывает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает его); если и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .

График функции также проходит через точку и расположен выше оси Ох. Если и возрастает , то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает его); если и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой , где \ - масса радиоактивного вещества в момент времени ; - масса радиоактивного вещества в начальный момент времени , - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.

Задача 1. Решить уравнение .

Решение. По свойству 2⁰ показательной функции данное уравнение имеет корень,

т.к. . Одним из корней является число , так как . Других корней нет, так как функция возрастает на всей числовой прямой, и поэтому при и при .

Ответ: .