имеет хотя бы одно решение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

14. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки , и .

б) Найдите расстояние от точки до прямой .

Решение.

Пусть – плоскость сечения. Плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

и

и

четырехугольник сечение.

(Можно уточнить, что и сечение параллелограмм.)

Б) Решение.

Призма прямая, поэтому

прямоугольный. перпендикуляр; наклонная; проекция.

По свойству правильного шестиугольника .

По теореме о трех перпендикулярах: если проекция , то и наклонная .

(Можно уточнить, что если , то параллелограмм прямоугольник.)

Расстояние от до прямой , т.к. .

прямоугольный. По теореме Пифагора

Ответ:

15. Решите неравенство .

Решение.

или .

Ответ:

16. Окружности радиусов 5 и 8 с центрами соответственно касаются в точке . Прямая, проходящая через точку , вторично пересекает меньшую окружность в точке , а большую- в . Найдите площадь треугольника , если

Решение.

1)

как радиусы равнобедренный

по теореме косинусов в

как вертикальные;

как радиусы равнобедренный

по теореме косинусов в

4) или

5)

или

или

или

Ответ: или

17. Строительство нового завода стоит 75 млн. рублей. Затраты на производство тыс.ед. продукции на таком заводе равны млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком каименьшем значении строительство завода окупится не более чем на 3 года?

Решение.

Прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год выражается как

.

Это выражение является квадратным трехчленом и достигает своего наибольшего значения при . Наибольшее значение равно . Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если

, то есть при , поскольку цена продукции не может быть отрицательной.

Таким образом, наименьшее значение .

Ответ: .

18. Найдите значение , при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Неравенство графически задает 4 круга, симметричные кругу с центром и относительно осей координат.

Уравнение графически задает окружность с центром и .

В случае касания внешним образом

В случае касания внутренним образом

В случае касания внешним образом

Объединим полученные значения. Т.к. , то

Ответ:

Баллы	Критерий оценки выполнения задания
	Обоснованно получен верный ответ
	Полученный ответ отличается от верного конечным числом точек ИЛИ при верном решении и рассмотрении всех случаев получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
	Получены значения параметра или (модуль не заметили или касание внутренним образом не заметили)
	Получены значения параметра (модуль не заметили и касание внутренним образом не заметили)
	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника- целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение.

а) Каждый сотрудник должен получить 15000 рублей. Выдадим 33 сотрудникам по 3 пятитысячных купюры, одному- пятитысячную и 10 тысячных, шестерым- по 15 тысячных.

б) Каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен получить 8000 рублей, поэтому нужно будет выдать каждому не менее трёх тысячных купюр, значит, всего их нужно не менее 210 штук. Следовательно, без сдачи и размена выдать премии не удастся.

в) Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии так: 26 человек должны получить по 4 тысячи, один- всё остальное, остальные – ничего.

Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и пункте «б».

Если же их не больше 26, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более 4 тысячных купюр, пока не кончаться пятитысячные.

Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выданы, а последний просто заберет все оставшиеся деньги.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.