Дифференциалды тедеулерді шешу жне дістері. Коши есебі. Эйлер дістері

Физикадаы е маызды жне кп тараан есептерді бірі ртрлі озалыс тедеулері. Оларды арапайымдары алашы шартпен берілген бір немесе бірнеше диффренциалды тедеулерді шешуді ажет етеді. Біра кп жадайда бндай тедеулерді аналитикалы шешу ммкін болмайды, сондытан Коши есебін шешуге негізделген санды дістерді олданнамыз. Сонымен атар бл дістерді кмегімен шамалары уаыта байланысты згеретін динамикалы есептерді шешуге болады.

Эйлер дісі. Осындай айрымды дісті бірі Эйлер дісі болып табылады. Мысал ретінде (14.2) алашы шартпен бірінші ретті диффренциалды тедеуді (14.1) шешуді арастырамыз:

(14.1)

(14.2)

Бл есепті шешімі айырымды діс бойынша торды функция трінде, яни кесте трінде ізделінеді, мндаы - туелсіз айнымалысыны кптік мндері (олар тйін деп аталады ), - тйіндегі -ті дл шешімін аппроксимациялайтын мн. Тйіндерді те атарлы орналасан деп есептесек, яни , -адам деп аталады, ол траты шама болып табылады. Енді (14.1), (14.2) есебі торды функцияны анытайтын есепке келеді:

(14.3)

(14.4)

(14.3) туындысын шеткі-айырымды рнекпен алмастырамыз:

(14.5)

Осыан байланысты шін келесі есептеу формуласын аламыз:

. (14.6)

Длірек Эйлер дісі.дісті арастыру шін функциясын Тейлор атарына жіктейміз:

(14.7)

Енді екінші ретті туындыны шеткі-айырымды діс бойынша жазамыз:

. (14.8)

(14.8)-ші рнекті (14.7)-ге оя отырып келесі рнекті аламыз:

. (14.9 )

Туындыларды келесі рнектермен алмастырамыз

. (14.10)

Мндаы -(14.6) формула бойынша аныталады.

Бл дістерден баса диффренциалды тедеуді шешетін Рунге-Кутта дісі бар.

6. Диффренциалды тедеулер жйесін шешу. Рунге-Кутта дісі.

Алашы шартпен берілген диффренциалды тедеулерді шешу шін Эйлер дістерінен баса да бір адамды дістер бар. Мысал ретінде екі тедеуден тратын диффренциалды тедеулер жйесін арастырамыз:

(14.11)

Рунге-Кутта дісі Эйлер дістеріне араанда длірек діс болып саналады. Есептеу лгісі келесі трде болады:

(14.12)

мндаы

Егер жйе бірнеше тедеуден трса, онда мен сияты сонша коэффиценттер ажет. Айта кететін жадай, жоары ретті диффренциалды тедеулер шін Коши есебін бірінші ретті дифференциалды тедеулер жйесін шешуге келтіруге болады.

7.10. Дербес туындылы тедеулерді шешу дістері. Лаплас тедеуі

Жылуткізгіштік тедеуді шін аралас есепті арастырамыз.

(15.8)

тедеуін жне анааттандыратын функциясын табу керек.

Бастапы шарт

, (15.9)

жне шекаралы шарттар

, . (15.10)

берілген.

Есепті шешу шін тор дісін олданамыз. дісті негізінетуындыны н ндерін шекті-айырымды атынаспен алмастыру жатыр. Туелсіз екі айнымалы бар жадайды арастырамыз. А йталы хОу жазытыында шекарасымен андай да бір облысы берілсін (Сурет 1).

Сурет 1

Жазытыта екі паралель тзулер жиынтыын арастырамыз:

, , i=0,1,2,…, k=0,1,2,…

Осы тзулерді иылысан нктелерін тйіндер деп атайды.

Іздеп отыран и=и(х,у) функцияны мндері тор тйіндерінде деп белгілейік. р ішкі тйіндердегі дербес туындыны шекті айырым атынастары арылы алмастырамыз:

Шекаралы нктелерде келесі трдегі формуланы олданамыз

, .

Екінші ретті дербес туынды да сйкесінше алмастырылады

Енді тріндегі тедеуден келесі тедеуге кшеміз

- =0.

деп алып, ішкі тйіндер шін есептеуге арналан тедеуді аламыз

(15.11)

боланда (15.11) тедеулері орныты болады. болан кезде (15.9) тедеуі мына трде жазылады

(15.12)

Айталы (x,t) – (15.8)-(15.10) есепті шешімі болсын, – дл мнні тор дісімен есептелген мннен ауытуы. Онда есептеу ателігі келесі формуламен есептелу керек

, (15.13)

мндаы = ,

8. Интерполяция жне оны трлері. квадратты интерполяциялар.

Интерполяция жне оны трлері.

Сызыты интерполяция. Сызыты интерполяцияда берілген нктелерді исы сызытар арылы осамыз. Бл жергілікті интерполяцияа жатады, себебі берілген нктеге кршілес жатан екі нктені арастырамыз.

Белгісіз функцияны мні келесі трде ізделінеді

. (12.1)