Функции нескольких переменных

4.1. Определение

Под функцией двух переменных понимают отображение , при котором каждой паре значений соответствует единственное значение . Обозначают такую функцию . Областью называется часть плоскости, ограниченная линиями. Линия, ограничивающая область, называется границей.

Определение. Область называется ограниченной, если существует – const такое, что расстояние от любой точки области до начала координат меньше C

Множество точек M(x;y) координатной плоскости , координаты которых удовлетворяют условию или называется - окрестностью точки ( ).

Определение. Число называют пределом функции f(x;y) при , если для и пишут или .

Если , то функция называется бесконечно малой величиной.

Теорема. Пусть функции и определены в некоторой области и пусть существуют и тогда

Для функций нескольких переменных выполняются и другие свойства пределов.

Пусть точка принадлежит области определения функции . Определение. Функция называется непрерывной в этой точке, если или .

Определение. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной в области.

Рассмотрим функцию двух переменных и посмотрим, как изменяется функция при условии, что , а – переменная величина. . называется частичным приращением по . Аналогично определяется частичное приращение функции по , при условии, что . Если придавать приращение обеим переменным, то получим полное приращение функции .

4.2. Частные производные. Полный дифференциал

Частной производной функции по переменной называется .

Замечание. Так как частичное приращение вычисляется при условии, что , то производная вычисляется от функции, зависящей только от . Аналогично: частная производная функции по вычисляется в предположении, что переменная, а постоянная величины. Из вышесказанного следует, что вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производных функций, зависящих от одной переменной.

Замечание. Частные производные функций, зависящих от любого числа переменных, находятся аналогично.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение ее может быть представлено в виде .

Определение. Главная часть приращения называется полным дифференциалом.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2. Если функция дифференцируема, то существуют ее частные производные, причем .

Отсюда следует форма полного дифференциала: .

Теорема 3. Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти частные производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке

4.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция дифференцируема в некоторой области . Рассмотрим поверхность в трехмерном пространстве, графиком которой является данная функция. Выберем точку и точку , принадлежащую этой поверхности. Плоскости и пересекают поверхность по плоским линиям, проходящим через точку . К этим плоским линиям через точку можно провести касательные, которые определяют плоскость. Полученная плоскость называется касательной плоскостью к поверхности . Прямая перпендикулярная к касательной плоскости и точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке.

Уравнения касательной плоскости и нормали находятся соответственно по формулам

и .

Если поверхность задана неявным уравнением , то касательная плоскость и нормаль к поверхности определяются уравнениями и .