ИДЗ – 3 Приложения производной
Индивидуальные домашние задания
ИДЗ – 1 Вычисление производных
1Найти производные данных функций:
1.1а) 
, б) 
, в) 
.
1.2а) 
, б) 
, в) 
.
1.3а) 
, б) 
, в) 
.
1.4а) 
, б) 
, в) 
.
1.5а) 
, б) 
, в) 
.
1.6а) 
, б) 
, в) 
.
1.7а) 
, б) 
, в) 
.
1.8а) 
, б) 
, в) 
.
1.9а) 
, б) 
, в) 
.
1.10а) 
, б) 
, в) 
.
1.11а) 
, б) 
, в) 
.
1.12а) 
, б) 
, в) 
.
1.13а) 
, б) , в) .
1.14а) 
, б) 
, в) 
.
1.15а) , б) 
, в) 
.
1.16а) 
, б) 
, в) 
.
1.17а) 
, б) 
, в) 
.
1.18а) 
, б) 
, в) 
.
1.19а) 
, б) 
, в) 
.
1.20 а) 
, б) 
, в) 
.
1.21а) 
, б) 
, в) 
.
1.22а) 
, б) 
, в) 
.
1.23 а) 
, б) 
, в) 
.
1.24а) 
, б) 
, в) 
.
1.25а) 
, б) 
, в) 
.
1.26а) 
, б) 
, в) 
.
1.27а) 
, б) 
, в) 
.
1.28а) 
, б) 
, в) 
.
1.29а) 
, б) 
, в) 
.
1.30а) 
, б) 
, в) 
.
2 Найти производную неявной функции:
2.1 
.
2.2 
.
2.3 
.
2.4 
.
2.5 
.
2.6 
.
2.7 
.
2.8 
.
2.9 
.
2.10 
.
2.11 
.
2.12 
.
2.13 
.
2.14 
.
2.15 
.
2.16 
.
2.17 
.
2.18 .
2.19 
.
2.20 
.
2.21 
.
2.22 
.
2.23 
.
2.24 
.
2.25 
.
2.26 
.
2.27 
.
2.28 
.
2.29 
.
2.30 
.
3 Найти производную функции с помощью логарифмической производной:
3.1 а) 
, б) 
.
3.2 а) 
, б) 
.
3.3 а) 
, б) 
.
3.4 а) 
, б) 
.
3.5 а) 
, б) 
.
3.6 а) 
, б) 
.
3.7 а) 
, б) 
.
3.8а) 
, б) 
.
3.9 а) 
, б) 
.
3.10 а) 
, б) 
.
3.11 а) 
, б) 
.
3.12а) 
, б) 
.
3.13 а) 
, б) 
.
3.14 а) 
, б) 
.
3.15 а) 
, б) 
.
3.16 а) 
, б) 
.
3.17 а) 
, б) 
.
3.18 а) 
, б) 
.
3.19 а) 
, б) 
.
3.20 а) 
, б) 
.
3.21 а) , б) 
.
3.22 а) , б) 
.
3.23 а) 
, б) 
.
3.24 а) , б) .
3.25 а) 
, б) 
.
3.26 а) 
, б) 
.
3.27 а) 
, б) 
.
3.28 а) 
, б) 
.
3.29 а) 
, б) 
.
3.30 а) 
, б) 
.
4 Найти производную 
, функции 
заданной параметрическими уравнениями:
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
4.9 
4.10 
4.11 
4.12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
4.19 
4.20 
4.21 
4.22 
4.23 
4.24 
4.25 
4.26 
4.27 
4.28 
4.29 
4.30 
5. Найти дифференциал 
функции 
:
5.1 
. 5.2 
.
5.3 .5.4. .
5.5 
.5.6 
.
5.7 . 5.8. .
5.9 
.5.10 
.
5.11 
.5.12 
.
5.13 
.5.14 
.
5.15 
.5.16 .
5.17 
.5.18 
.
5.19 .5.20 
.
5.21 
. 5.22 
.
5.23 . 5.24 
.
5.25 
. 5.26 
.
5.27 
. 5.28 
.
5.29 
.5.30 .
ИДЗ–2 Производные и дифференциалы высших порядков
1 Вычислить значение второй производной функции в точке 
.
1.1 
.
1.2 
.
1.3 
.
1.4 
.
1.5 
.
1.6 
.
1.7 
.
1.8 
.
1.9 
.
1.10 
.
1.11 
.
1.12 
.
1.13 
.
1.14 
.
1.15 
.
1.16 
.
1.17 
.
1.18 
.
1.19 
.
1.20. 
.
1.21 
.
1.22 
.
1.23 
.
1.24 
.
1.25 
.
1.26 
.
1.27 
.
1.28 
.
1.29 
.
1.30 
.
2 Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :
2.1 
.2.2 
.
2.3 
.2.4 
.
2.5 
.2.6 
.
2.7 
.2.8 
.
2.9 
.2.10 
.
2.11 
.2.12 
.
2.13 
.2.14 
.
2.15 
.2.16 
.
2.17 
.2.18 
.
2.19 
в точке
.2.20 
в точке 
.
2.21 .2.22 .
2.23 
.2.24 
.
2.25 
.2.26 
в точке 
.
2.27 
.2.28. 
.
2.29 
.2.30 .
3 Написать разложение функции в ряд Маклорена по степеням переменной 
до членов порядка 
включительно:
3.1 
.3.2 
.
3.3 
3.4 
.
3.5 
. 3.6 
.
3.7 
. 3.8 
.
3.9 
. 3.10 
.
3.11 
. 3.12 
.
3.13 
. 3.14 
.
3.15 
. 3.16 
.
3.17 
. 3.18 
.
3.19 
. 3.20 
.
3.21 
. 3.22 
.
3.23 
. 3.24 
.
3.25 
. 3.26 
.
3.27 
. 3.28 .
3.29 
. 3.30 
.
4 Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:
4.1 
. 4.2 
.
4.3 
. 4.4 
4.5 
.4.6 
.
4.7 
. 4.8 
.
4.9 
. 4.10 
.
4.11 
.4.12 
.
4.13 4.14 
4.15 
4.16 
.
4.17 
. 4.18 
.
4.19 . 4.20 
.
4.21 
4.22 .
4.23 
. 4.24 
.
4.25 
. 4.26 
.
4.27 
. 4.28 
.
4.29 . 4.30 .
5 Вычислить приближенно значение функции в точке 
с помощью дифференциала:
5.1 
, 
7,76.
5.2 
, 0.98.
5.3 
, 0,08.
5.4 
, 2,01.
5.5 
, 
.
5.6 
, 1,08.
5.7 
, 0,01.
5.8 
, 0,48.
5.9 , 1,03.
5.10 
, 1,95.
5.11 , 0,51.
5.12 
, 1,012.
5.13 
, 2,002.
5.14 , 0,52.
5.15 , 8,24.
5.16 
, 10,02.
5.17 
, .
5.18 
, 0,01.
5.19 
, 0,98.
5.20 
, 3,998.
5.21 
, 1,04
5.22 , 1,21.
5.23 
, 4,16.
5.24 , 1,02.
5.25 
, 2,56.
5.26 
, 2,995.
5.27 , 0,09
5.28 , 
.
5.29 , 7,64.
5.30 
, 1,95.
ИДЗ – 3 Приложения производной
1Найти глобальный экстремум функции на отрезке 
.
1.1 
.
1.2 
.
1.3 
.
1.4 
.
1.5 
.
1.6 
.
1.7 
.
1.8 
.
1.9 
.
1.10 
.
1.11 
.
1.12 
.
1.13 
.
1.14 
.
1.15 
.
1.16 
.
1.17 
.
1.18 
.
1.19 
.
1.20 
.
1.21 
.
1.22 
.
1.23 
.
1.24 
.
1.25 
.
1.26 
.
1.27 
.
1.28 
.
1.29 
.
1.30 
.
2 Решить геометрические задачи:
2.1 Найдите прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.
2.2 При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
2.3 В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник наибольшей площади.
2.4 В эллипс 
вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.
2.5 Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол 
. При каком значении объём пирамиды является наибольшим?
2.6 В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма.
2.7 В данный шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объёма.
2.8 В шар радиусом R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
2.9 Около шара радиуса r описать конус наименьшего объёма.
2.10 Через вершину М квадрата CEMK провести прямую, пересекающую лучи CK и CE в точках A и B так, чтобы площадь DABC была наименьшей.
2.11 Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?
2.12 Найти наибольший объём конуса с образующей l.
2.13 В прямой круговой конус с углом 
в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
2.14 Найти кратчайшее расстояние точки M(p,p) от параболы 
.
2.15 Найти наибольшую хорду эллипса , 
, проходящую через вершину 
.
2.16 Через точку эллипса провести касательную, образующую с осями координат треугольник наименьшей площади.
2.17 Найти основания и высоту равнобочной трапеции, которая при данной площади S имеет наименьший периметр; угол при большем основании трапеции равен .
2.18 Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
2.19 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и углом 30° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
2.20 Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется наименьшей?
2.21 Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 
дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?
2.22 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
2.23 Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?
2.24 Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной 
найти треугольник наибольшей площади.
2.25 Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины по 10 см. Найти размер большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.
2.26 Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24 и 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.
2.27 Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна 
. При каком значении отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим?
2.28 Каким должен быть радиус основания и высота цилиндрического бака, чтобы при данном объеме 
на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
2.29 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
2.30 Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины по 15 см. Найти размер меньшего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.
3Решить физические задачи:
3.1 Тяжелую балку длиной 13 м, расположенную вертикально, опускают на землю так, что нижний её конец прикреплен к вагонетке, а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот. Канат сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатывается вагонетка в момент, когда она npoйдёт расстояние 5 м?
3.2 Антенна радара находится на расстоянии 1000 м по горизонтали от стартовой площадки и все время направлена на ракету, которая поднимается с постоянным ускорением 20 м/с2. Какова угловая скорость антенны в момент, когда ракета находится не высоте 1000 м?
3.3 Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 м/с. В центре окружности находится фонарь. Забор касается окружности в точке, из которой лошадь начинает бег. С какой скоростью перемешается тень лошади вдоль забора в момент, когда лошадь пробежит 1/8 окружности?
3.4 Резервуар, имеющий форму полушара радиуса 
, заполняется водой. Скорость заполнения резервуара равна 
. Определите скорость подъёма воды в резервуаре в момент, когда вода поднялась на высоту 
.
3.5 Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/с. Чему равно ускорение верхнего конца лестницы в момент, когда нижний конец отодвинулся от стены на 1 м?
3.6Канат висячего моста, имеющего форму цепной линии, т. е. графика функции 
, прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим друг от друга на расстоянии 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точки подвеса. Чему равен угол между канатом и опорой в точке подвеса (для определения a можно воспользоваться равенством 
)?
3.7 В точках A и B находятся источники света силы 
и 
соответственно, 
27. Найдите на отрезке наименее освещенную точку (освещенность прямо пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него).
3.8 Бревно длиной 10 м с помощью подъёмного крана поднимается вертикально вверх за один из его концов. При этом второй конец волочится по земле со скоростью 0,05 м/с. С какой скоростью перемещается верхний конец бревна в момент, когда его нижний конец находится на расстоянии 3 м от вертикали?
3.9 Мальчик надувает воздушный шар, радиус которого возрастает с постоянным ускорением 0,2 см/с2. С какой скоростью увеличивается объём шара в момент, когда площадь его поверхности равна 
см2 (радиус шара в начальный момент времени равнялся нулю)?
3.10 Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от точечного источника света, расположенного на высоте 3 м, с постоянным ускорением 0,1 м/с2. С каким ускорением перемещается тень его головы?
3.11 Скорость тела, движущегося по окружности радиуса 1 м, меняется по закону 
. Найдите величину ускорения тела в момент времени 
c.
3.12 Зависимость пути, пройденного телом, движущимся по окружности радиуса 
, от времени задается уравнением 
( 
). Чему равна величина скорости тела в момент, когда оно пройдёт путь 
?
3.13 Частица движется с постоянной по величине скоростью 
по кривой 
. Найдите величину ускорения частицы в момент, когда 
.
3.14 При изобарном нагревании n молей идеального газа его объём с течением времени меняется по закону 
( , a , b ). С каким ускорением меняется температура газа T, если его давление 
?