Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки М(х1; у1) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле
Эллипсуравнение :
, где b2 = а2 – с2Эксцентриситет: 
(0;Х) 
, где 
(0;У) ГиперболаУравнение: 
, где b2 = c2 – a2
Эксцентриситет: Очевидно, что е > 1. Гипербола имеет две асимптоты,уравнения которых : 
ОУ уравнение ГИПЕРБОЛЫ 
Эксцентриситет
Пример 1.Пусть требуется вычислить 
Решение: f (x) = x3 – 2x – 3 и g (x) = x2 + 3x + 3. Так как g (3) = 32 + 3 3 + 3 = 21 0. то имеем: 
Пример 2. Вычислить 
.
Решение: здесь (2) = 22 - 52 + 6 = 0, g (2) = 22 - 62 + 8 = 0. Так как x 2, имеем
.
Пример 3. Вычислить 
.
Решение 
.
Пример 4. Вычислить 
.
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение: 
.
Пример 6.Вычислить 
. 
Пример7. Найти предел 
.
= 
= 
= 
=0
Пример 8. Вычислить 
Решение: 
, заменяя 3x = y и учитывая, что y 0 при
x 0, получаем: 
.
Пример 9. Вычислить 
.
Решение:
Пример 10. Вычислить 
Решение: 
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1.Найти предел функции f(x) = |x| при x®0
Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как f(x)=-x для х, удовлетворяющих неравенству x<0, то 
.Так как f(x)=x, при x>0 
.Таким образом, f(+0)=f(-0)=0. Так как односторонние пределы в точке нуль совпали, то предел функции f(x) в точке нуль существует и равен их общему значению, т.е.: 
.
Пример 2.Доказать, что функция 
не имеет предела в точке х=1.
Данная функция определена на всей числовой прямой. Вычислим односторонние пределы этой функции в точке х=1: 
, 
.
Итак, f(1-0)¹f(1+0). Следовательно, данная функция не имеет предела в точке х=1.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию 
в точке 
.
Решение: воспользуемся определением 1:
1) Т.к. определена на всей числовой прямой, то условие 1) выполнено;
2) 
; 
;
значит предел функции в точке существует и 
.
3) 
;
Отсюда имеем, что 
, т.е. предел функции при 
равен значению функции при 
. Следовательно, функция 
в точке х=3 непрерывна.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию 
в точке 
.
Решение: опять воспользуемся определением 1:
1) в точке 
функция не определена, значит нет выполнения первого условия, и непрерывности в точке 
нет.
Пример 5.Исследовать на непрерывность функцию 
Решение: функция 
определена на всей числовой оси. В таких случаях удобно для исследования на непрерывность пользоваться вторым определением.
Дадим аргументу 
приращение 
и найдем приращение функции 
: 
Найдем предел при 
: 
Т.к. равенство 
справедливо при любом конечном значении , поэтому функция 
непрерывна при любом значении .
Таблица производных элементарных функций
Правила дифференцирования
1. 
2. 
,
3. 
, 
;
4. 
,
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить , если .
Решение:
Пример 2. Вычислить 
, если 
Решение:
Пример 3. Вычислить , если 
Решение:
;
2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем
Геометрическое приложение производной1).y' (x0) = tg 2). y - y0 = y’(x0) (x - x0) 3).x = x0. (3 