Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3 3 страница
Разделяя переменные, получим:
Общее решение
Пример 5.2. Найти частное решение дифференциального уравнения 
удовлетворяющего начальным условиям 
Найдем общее решение однородного уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет действительные различные корни: k1=1 k2=-2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 5.3. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения
,
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные, получим
.
Интегрируя обе части равенства: 
Пример 5.4. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения 
,
Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением
Сделаем подстановку 
. Тогда y=ux и y'=u'x+u.
Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
Пример 5.5. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения 
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'.
Тогда данное уравнение примет вид
Пример 5.6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения 
Данное уравнение является дифференциальным уравнением Бернулли.
Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'.
Тогда данное уравнение примет вид
Пример 5.7. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения 
,
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Сделаем подстановку х=uv; тогда х'=u'v+uv'.
Пример 5.8. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения 
.
Пример 5.9. Найти общий интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка: 
Решение.
Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде искомую функцию y(x), следовательно, оно допускает понижение порядка. Для этого положим y''=p(x) Тогда y'''=dp/dx
и уравнение примет вид
Разделяя переменные, получим 
Пример 5.10. Найти частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка: 
Это дифференциальное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x, следовательно, оно допускает понижение порядка. Положим y'=p(y), тогда
.
В результате, исходное уравнение примет вид 
Пример 5.11. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:
Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=4. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 5.12. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: 
Составляем характеристическое уравнение 
.
Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k1=2+3i, k2=2-3i.
Пример 5.13. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: 
однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
соответствующее характеристическое уравнение
корни действительные и различные
Пример 5.14. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: 
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=6, k2=6. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение 
неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: f(x) 
, т.е. решение будем искать в виде 
k1=k2=6=а, кратность корня = 2
.
Находя производные этой функции
и подставляя их в исходное уравнение, получим
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
Пример 5.15. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: 
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид