Аналіз похибок вимірювань і методів фільтрації

Точність вимірювання - основний показник як якості вимірювання, так і ступеня досконалості вимірювальних засобів. У першому випадку точність вимірювання -це головна характеристика якості вимірювання, що відображає наближеність результату вимірювання доістинного значен­ня вимірюваної величини, тобто такого, яке ідеально відображало б певну властивість об'єкта. У другому - точність вимірювання є характеристикою ЗВТ (засіб вимірюваної техніки), яка визначає наближеність його показань до істинного значення вимі­рюваної величини.

На відміну від істинного значення фізичної величини, яке не можна виміряти в принципі з огляду на обмеження дискретування речовини та енергії, задійсне (умовно істинне) значення фізичної величини беруть її значення, знайдене експериментально і настільки наближене до істинного, що його можна використати замість істинного для конкретної мети.

У технічних вимірюваннях за дійсне значення вимірюваної величини беруть її значення, виміряне зразковим ЗВТ.

Кількісно точність вимірювання найчастіше характеризують числом, обернено пропорційним модулю відносної похибки: є = 1/|5|. Наприклад, якщо 8 = 0,001, то є = 1000. Через очевидну незручність подібну оцінку точності застосовують рідко, здебільшого для якісної характеристики вимі­рювань: низька точність, висока точність тощо. Тому для оцінювання точ-ності як самих вимірювань, так і ЗВТ частіше використовують похибки.

Похибкою вимірювання називають алгебричну різницю між значен­ням, отриманим під час вимірювання, Х_N та дійсним значенням вимірюва­ної величиниХ_Д:

= Х_N - Х_Д. (1.1)

За способом вираження похибки вимірювань поділяють на абсолютні й відносні.

Абсолютна похибка вимірювання - це і є різниця між результатом вимірювання та дійсним значенням вимірюваної величини, виражена рів­нянням (1.1). Розмірністю абсолютної похибки є розмірність вимірюваної величини: dim = dim X.

Відносною похибкою вимірювання називають відношення абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини:

d= А • 100/ Х_Д. (1.2)

Відносна похибка характеризує точність вимірювання, і її визначають у відносних одиницях або відсотках.

За характером змінюваності під час повторних вимірювань похибки поділяють на систематичні та випадкові.

Систематична похибка - це складова похибки вимірювання, що зали­шається сталою або прогнозовано змінюється в ряді вимірювань однієї ве­личини. Зазвичай це значні похибки, тому їх або враховують у подальших розрахунках, уносячи відповідні поправки, або вилучають схемно, конст­руктивно чи технологічно. Таким чином, щоб визначити уточнене значен­ня вимірюваної величини, необхідно знайти алгебричну суму отриманих (виміряних) значень вимірюваної величини та поправки.

Випадкова похибка - це складова похибки вимірювання, що непрогно- зовано змінюється в ряді вимірювань однієї величини. Такі похибки вияв­ляють тоді, коли після повторних вимірювань однієї й тієї самої величини постійного розміру, виконаних однаково точно й ретельно, отримують різ­ні результати.

Випадкові похибки не можна визначити й вилучити способами, засто-совуваними до систематичних похибок, оскільки для їх визначення слід виконати значну кількість повторних вимірювань. Проте, застосовуючи математичний апарат теорії ймовірності та математичної статистики, мож­на уточнити результат вимірювання, оцінити і навіть зменшити випадкові похибки. Так, згідно з теоретичними висновками про малу ймовірність появи великих випадкових похибок, результат з надмірною похибкою, тоб­то такою, що суттєво перебільшує очікувану за конкретних умов похибку, відносять до аномальних результатів вимірювання (промахів) і вилучають як нехарактерний.

Залежно від причини виникнення розрізняють інструментальну, мето­дичну, суб'єктивну похибки, похибку від впливових величин та похибку установлення.

Інструментальна похибка - це складова похибки вимірювання, зумов-лена недосконалістю конструкції ЗВТ. Такі похибки можуть виникнути, наприклад, від нестабільності параметрів схем і механізмів ЗВТ, від впливу на ЗВТ зовнішніх і внутрішніх чинників (температури, тиску, вологості, електричного та магнітного полів, зносу конструктивних елементів, старіння використаних матеріалів тощо).

Методична похибка - це складова похибки вимірювання, зумовлена неадекватністю об'єкта вимірювання та його моделі, узятої для вимірювання (наприклад, визначення через виміряний діаметр площу поперечного перерізу не зовсім круглої колоди).

Особливістю методичних похибок є те, що їх неможливо виявити, а тим паче зменшити або запобігти ані ретельними спостереженнями, ані підвищенням точності ЗВТ; це можливо зробити лише створивши точнішу модель вимірюваного об'єкта.

Суб'єктивна похибка - це похибка, зумовлена індивідуальними рисами людини, яка здійснює вимірювання. Її появу спричинюють закоре­нілі неправильні навички виконання вимірювань, наприклад, неправильне розташування дослідника відносно покажчика відлікового пристрою призводить до появи похибки відліку (паралакс).

Похибка від впливових величин є наслідком впливу на об'єкт і засіб вимірювання зовнішніх чинників (теплових і повітряних потоків, магніт­них та електричних полів, атмосферного тиску, вологості повітря, вібрації тощо).

Похибка установлення виникає внаслідок неправильного встанов­лення засобів вимірювання (наприклад, у результаті нехтування горизонтуванням вагів перед вимірюваннями, перекосу поплавка рівнеміра, невертикального закріплення скляного капілярного віскозиметра в лабораторному термостаті і т. ін.).

Окрім точності, з похибками вимірювання пов'язані ще й такі характе-ристики якості вимірювань, як відтворюваність, правильність і збіжність.

Відтворюваність вимірювань - це характеристика якості вимірювань, що відображає близькість результатів вимірювань однієї й тієї самої вели­чини, виконаних у різних умовах (у різний час, у різних місцях, різними методами і засобами).

Правильність вимірювань - це характеристика якості вимірювань, що відображає наближеність до нуля систематичної похибки вимірювання.

Збіжність результатів вимірювань - це характеристика якості вимі­рювань, що відображає близькість повторних результатів вимірювань одні­єї й тієї ж величини в однакових умовах.

Для усунення перешкод є безліч математичних методів обробки сигналів. Пристрої, що виконують функції усунення перешкод із сигналів, називають фільтрами.

Як відомо, існують аналогові, дискретні і цифрові сигнали. Аналогові сигнали описуються неперервною у часі функцією, що може набувати будь- якого значення у визначеному інтервалі. Дискретні сигнали являють собою послідовності або відліки функції, узяті у визначені дискретні моменти часу nТ; цифровими є сигнали, що у дискретні моменти часуnТ набувають кінцевих дискретних значень - рівнів квантування, які потім кодуються двійковими числами.

На відміну від безперервного сигналух(і) дискретний сигнал можна позначити якх[t]. Однак частіше його позначають якх[nТ], заміняючи безперервний часt дискретними моментамиnТ, що йдуть строго через інтервалТ. Причому у всіх цих записахn - це ціле число, що набуває як додатних, так і від'ємних значень. Аналогові фільтри обробляють безперервні сигнали. Цифрові фільтри перетворюють значення сигналу х[nТ] у дискретні моменти часуnТ.

Цифрові фільтри (ЦФ) можуть бути виконані як у вигляді цифрової

електронної схеми, так і у вигляді програми для ЕОМ, що виконує математичну обробку дискретної вибірки сигналу. У порівнянні з аналоговими фільтрами ЦФ мають деякі переваги:

- ЦФ можна реалізувати в мікроелектронному вигляді на одній інтегральній схемі;

- ЦФ можуть бути запрограмовані. Це одна з головних їхніх переваг;

- ЦФ вирізняються високою відмовостійкістю і надійністю;

- точність ЦФ визначається помилкою заокруглення при виконанні арифметичних операцій на ЕОМ, у той час як точність аналогових фільтрів визначається похибками елементів схеми.

Переваги використання ЦФ особливо помітні у низькому та інфранизькому частотному діапазонах, що особливо важливо в медичних дослідженнях.

Вхідний сигнал цифрового фільтра являє собою послідовність дискретних відліків, що формуються в результаті дискретизації вхідного аналогового сигналу. Залежність вихідного сигналу фільтра від вхідної послідовності відліків описується лінійним або нелінійним різницевим рівнянням. У лінійних фільтрах відгук є лінійною функцією багатьох змінних. Одне з найбільш розповсюджених застосувань лінійних фільтрів - згладжування шуму. Фільтри, у яких відгук не може бути виражений лінійною функцією від значень вхідних відліків біосигналу, є нелінійними. Так, наприклад, при хаотично виникаючих імпульсних перешкодах корисніше використовувати медіанну нелінійну фільтрацію, при якій кожен вихідний відлік являє собою середнє значення з декількох вхідних відліків.

Для забезпечення підвищення точності вимірюваних параметрів в даній роботі ми використали наступні фільтри:

1. Якщо значення вихідної змінноїу[n]у даний момент часу залежить як від значень вхідних відліків, так і від значень вихідної змінноїу[n-m] у попередні моменти часу, то говорять прорекурсивний фільтр.

Перший метод полягає у визначенні поточного дійсного значення (згладженого) технологічного параметру _i, за допомогою формули _{i = i} + (1- ) _i-1;

2. Якщо значення вихідної змінної у[n] у даний момент часу залежить тільки від значень вхідних відліків, то говорять пронерекурсивний ЦФ.

Другий метод полягає у визначені згладженого поточного значення технологічного параметру _i, за допомогою формули _i = a₀x_i + a₁x_{i -1} + a₂x_{i -2};

3. Третій метод складається з наступного, з трьох значень вибирається те яке більше меншого і менше більшого, таким чином підвищується достовірність інформації.