Устранение и объяснение парадоксов
Следует обратить внимание на одно важное различие.
Устранение парадоксов и их разрешение – это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории – значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.
Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.
Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуиция-ми. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.
РљСЂРѕРјРµ того, отказ РѕС‚ какого-то допущения, даже если РѕРЅ Рё обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, РІРѕРІСЃРµ РЅРµ гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Рто РіРѕРІРѕСЂРёС‚ Рѕ том, что Р·Р° парадоксами РЅРµ следует «охотиться» поодиночке. Рсключение РѕРґРЅРѕРіРѕ РёР· РЅРёС… всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, что этим же шагом Р±СѓРґСѓС‚ устранены Рё РґСЂСѓРіРёРµ парадоксы.
Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».
Рнаконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.
Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?
Логическая грамматика
РћРґРёРЅ путь – это выделение наряду СЃ истинными Рё ложными предложениями также бессмысленных предложений. Ртот путь был РїСЂРёРЅСЏС‚ Р‘.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены РёРј бессмысленными РЅР° том основании, что РІ РЅРёС… нарушаются требования логической грамматики. РќРµ РІСЃСЏРєРѕРµ предложение, РЅРµ нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным – РѕРЅРѕ должно удовлетворять также правилам РѕСЃРѕР±РѕР№, логической грамматики.
Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. Р’ дальнейшем эта теория была существенно упрощена Рё получила название простой теории типов.
Основная идея теории типов – выделение разных РІ логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. Рљ низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, РЅРµ являющиеся множествами. Рљ первому типу относятся множества объектов нулевого типа, С‚.Рµ. РёРЅРґРёРІРёРґРѕРІ; РєРѕ второму – множества множеств РёРЅРґРёРІРёРґРѕРІ Рё С‚.Рґ. Рными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов Рё С‚.Рґ. РџСЂРё этом вводятся определенные ограничения РЅР° конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств – свойствам Рё С‚.Рґ. РќРѕ нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются Сѓ предметов.
Возьмем серию предложений:
Ртот РґРѕРј – красный.
Красное – это цвет.
Цвет – это оптическое явление.
В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определенный предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» – на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» – указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.
Р’СЃРµ три предложения РёР· приведенной серии являются, конечно, осмысленными. РћРЅРё построены РІ соответствии СЃ требованиями теории типов. Рђ скажем, предложение В«Ртот РґРѕРј есть цвет» нарушает данные требования. РћРЅРѕ приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, РЅРѕ РЅРµ предметам. Аналогичное нарушение содержится Рё РІ предложении В«Ртот РґРѕРј является оптическим явлением». РћР±Р° эти предложения должны быть отнесены Рє бессмысленным.
Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» Рё Берри простое разделение рассматриваемых объектов РЅР° типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.
Рсключение парадоксов может быть достигнуто также РЅР° пути отказа РѕС‚ использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Ртот путь был предложен немецким математиком Р•.Цермело, связавшим появление парадоксов СЃ неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены РёРј некоторым СЃРїРёСЃРєРѕРј аксиом, сформулированных так, чтобы РёР· РЅРёС… РЅРµ выводились известные парадоксы. Вместе СЃ тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода РёР· РЅРёС… обычных рассуждений классической математики, РЅРѕ без парадоксов.
Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.