Зара жай сандар жне оларды асиеттері

4-анытама. Егер болса, онда сандары зара жай сандар деп аталады.

Мысалы, 17 мен 23 сандары зара жай сандар, себебі ал 30-бен 72 сандары зара жай сандар емес, себебі

6-теорема. а жне b сандары з ара жай болуы шін,

(3)

тедігі орындалатын, жне бтін сандарыны бар болуы ажетті жне жеткілікті.

Длелдеуі. ажеттігі. Егер а мен b зара жай болса, онда 5-ші теорема бойынша, жне бтін сандары табылып, тедігі орындалады.

Жеткіліктігі. (3) тедік орындалатындай жне бтін сандары бар болсын жне дейік. Онда, блінгіштікті асиеті бойынша (3) тедіктен 1 саны d санына алдысыз блінеді: Демек Олай болса, а мен b з ара жай сандар.

Салдар. Егер а мен b з ара жай сандар болып, ал жне болса, онда а₁ мен b₁ де з ара жай сандар. Шынында да, боландытан жне бтін сандары табылып, тедігі орындалады. Ал жне боландытан жне болады. Сондытан, яни

7-теорема. а жне b сандарын санына блгендегі ес еліктері з ара жай сандар болады.

Длелдеуі. ,болса, онда Осы тедікті екі жаында d-а блсек.

тедігін аламыз. Бдан, 6-шы теорема бойынша.

болады.

8-теорема. Егер а жне сандарыны кбейтіндісі с санына блінсе жне болса, онда b саны с санына блінеді.

Длелдеуі. боландытан, жне бтін сандары табылып, тедігі орындалады. Осы тедікті екі жаында -а кбейтсек тедігін аламыз. Теореманы шарты бойынша боландытан, блінгішті асиеті бойынша, аыры тедікті сол жаындаы осынды да с санына блінеді. Онда тедікті о жаындаы саны да с-а блінеді, яни .

9-теорема. Егер болса, онда с саны санына, сол жадайда, тек ана сол жадайда блінеді, егер с саны а-а да -а да блінсе.

ажеттілігі. с саны санына, ал саны а жне b сандарына блінетін боландытан, с саны а-а да -а блінеді.

Жеткіліктігі.Егер с/а болса, онда Ал с/ b жне боландытан (8-ші теорема) q саны -а блінеді. Онда яни с саны а-а да b-а блінеді.

Мысалы, кез келген N саны 30 санына бліну шін, ол сан 2-ге, 3-ке, 5-ке бліну керек. йткені ал саны соы цифры ноль боландытан екі мен беске блінеді жне цифрларыны осындысы 3-ке блінетіндіктен 3 саны да блінеді. Демек, 324750 саны 30-а блінеді.

10-теорема. Егер жне болса, онда

Длелдеуі. Теорема тжырымына кері, дейік. Онда болады. Теорема шарты бойынша боландытан, 6-теореманы салдары бойынша, Ал жне боландытан, 8-теорема бойынша, Демек екендігі шыады. Бл теорема шартына айшы. Бдан екендігі шыады. Бл теореманы тмендегіше жалпылауымыза болады. Егер сандары сандарыны райсысымен з ара жай болса, онда кбейтіндісі кбейтіндісімен з ара жай болады.

Салдар. Егер болса, онда кез келген натурал сандар шін болады. Ескерту. дегеннен шыпайды, мнда

5-анытама. Егер сандарыны кез келген екеуі з ара жай болса, онда бл сандар ос-остан з ара жай деп аталады.

Мысалы, 715, 96, 119 сандары ос-остан з ара жай, йткені