Если , то из векторного уравнения получим

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Если исключить параметр из параметрических уравнений (или записать в координатной форме условие ), то получим каноническое уравнение прямой

или уравнение прямой, проходящей через данную точку , параллельно вектору (в данном направлении).

Замечания. 1. Если одна из координат направляющего вектора равна нулю, то каноническое уравнение в виде, например,

означает, что уравнение прямой есть (это следует из параметрических уравнений), а принимает любые значения.

2. Чтобы записать уравнение прямой, достаточно знать какую-либо точку, через которую она проходит, и направление перпендикулярное или параллельное этой прямой. Направление задается при помощи вектора, модуль которого может иметь любое значение, например, уравнения

определяют одну и ту же прямую.

3. Прямая – линия первого порядка, так как уравнение любой прямой в координатной форме (общее, каноническое, нормированное) есть алгебраическое уравнение первого порядка.

Обратное утверждение также справедливо: линия первого порядка есть прямая линия.

Действительно, пусть дано уравнение , где - какие угодно постоянные с единственным ограничением: . Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение: .

Из данного уравнения, вычитая последнее тождество, получим уравнение, эквивалентное исходному:

Если координаты некоторой точки удовлетворяют этому уравнению, то это означает, что , где , откуда следует, что точка принадлежит прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Следовательно, уравнение определяет прямую линию.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Рис. 33.

Углом наклона прямой к оси OX называется угол между OX и прямой, отсчитываемо от оси OX в положительном направлении (рис. 33). Если этот угол обозначить символом , то из определения следует, что

0 1

Рис. 34.

Угловым коэффициентом прямой называется

Пусть прямая проходит через точку , а направляющий вектор имеет первую координату равную единице, тогда вторая координата этого вектора равна (рис. 34). Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора :

откуда или , где . Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку . Если ввести обозначение , то уравнение примет вид

Замечания. 1. Если прямая параллельна оси OX, то и уравнение прямой имеет вид

2. Если прямая параллельна оси OY, то для такой прямой угловой коэффициент не существует и уравнение такой прямой невозможно представить в виде

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Выведите векторное уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному направлению.

2. Выведите векторное уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку в данном направлении

3. Запишите общее уравнение прямой.

4. Выведите нормированное уравнение прямой.

5. Запишите параметрические уравнения прямой и уравнение прямой в канонической форме.

6. Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

§6. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Рассмотрим различные формы уравнений прямых.

a) Дано: и .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Угол между прямыми и равен углу между их нормальными векторами и :

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

б) Дано: и

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Угол между прямыми и равен углу между направляющими векторами этих прямых

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

в) Дано: и

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Рис. 35.

Из рис. 35 видно, что угол между прямыми и связан с углами наклона и этих прямых к оси OX соотношением , откуда

но из данных уравнений прямых имеем , следовательно,

Замечание. Если в этой формуле поменять местами и , то получим значение (рис. 35).

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Запишите условия ортогональности двух прямых на плоскость для различных форм уравнений прямых.

2. Выведите формулу для вычисления угла между двумя прямыми при данных угловых коэффициентах этих прямых.

§7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Рис. 36.

Пусть даны прямая и точка . Если - некоторая точка, принадлежащая данной прямой ( ), то расстояние от точки до прямой равно (рис. 36), где - нормальный вектор прямой. Так как то

откуда

Замечание. Если уравнение прямой дано в нормированной форме , то

§8. ПУЧОК ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Определение. Пучком прямых называется множество всех прямых, проходящих через данную точку плоскости. Эта точка называется центром пучка.

Определение. Уравнением пучка называется уравнение из которого можно получить уравнение любой прямой этого пучка.

Пучок прямых можно задать двумя способами: а) задается центр пучка; б) задаются две прямые, принадлежащие пучку.

a) Пусть точка - центр пучка; в этом случае уравнение , где - параметр, который может принимать любые числовые значения, будет уравнением пучка.

Действительно, любая прямая, проходящая через точку , может быть определена этим уравнением при некотором значении : прямая, проходящая через точку , однозначно определяется заданием еще одной точки; Пусть это будет точка , тогда должно выполняться условие , откуда определяется угловой коэффициент прямой

Замечание. Из уравнения пучка нельзя получить уравнение только одной прямой, принадлежащей пучку:

б) Пусть заданы уравнения двух прямых, принадлежащих пучку:

В этом случае уравнение пучка можно записать, не вычисляя координат центра пучка ( в этой точке пересекаются данные прямые). Уравнением с центром в точке будет уравнение

где - параметр, принимающий какие угодно значения.

Действительно, во-первых, при любом значении это равенство будет уравнением первого порядка, т.е., если переписать уравнение в виде то хотя бы один из коэффициентов при и не будет равен нулю. Предположим, что при некотором значении будет Последнее равенство, означает, что исходные прямые параллельны, а это невозможно, т.к. они пересекаются. Следовательно, при любом значении уравнение определяет прямую.

Во-вторых, эта прямая проходит через центр пучка (принадлежит пучку). Действительно, если исходные прямые пересекаются в точке , т.е.

то

В-третьих, любая прямая пучка получается из уравнения при некотором значении (доказательство аналогично случаю а)).

Итак, рассматриваемое уравнение есть уравнение пучка.

Замечание. Из этого уравнения нельзя получить только одно уравнение прямой, принадлежащей пучку: , которое не получается ни при каком значении .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение пучка прямых на плоскости.

2. Что такое уравнение пучка прямых?

3. Запишите уравнение пучка, если известен центр пучка.

§9. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Предположим, что в пространстве выбрана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим геометрические объекты в пространстве, определяемые линейными уравнениями.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Пусть в пространстве заданы точка и вектор . Следует записать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (рис. 37). Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда

Рис. 37.

Рис. 38.

Если и - радиус-векторы соответственно точек и , то и равенство примет вид

Полученному уравнению удовлетворяют только радиус-векторы точек рассматриваемой плоскости, следовательно, это – векторное уравнение данной плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Замечание. Если начало нормального вектора поместить в начало координат и при этом вектор будет направлен в сторону плоскости (рис. 38), то произведение , где - расстояние от начала координат до

плоскости. Векторное уравнение плоскости в этом случае имеет вид . Уравнение называется нормированным (нормальным) уравнением плоскости.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Пусть в заданной системе координат имеем , тогда и векторное уравнение плоскости в координатной форме будет иметь вид:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору

Если ввести обозначение , то получим общее уравнение плоскости

НОРМИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Векторное нормированное уравнение плоскости в координатной форме имеет вид

где - направляющие косинусы вектора

Общее уравнение плоскости приводится к нормальной форме умножением обеих частей уравнения на , где знак берется противоположный знаку :

Замечания. 1. Чтобы записать уравнение плоскости, достаточно знать какую-либо точку этой плоскости и направление, перпендикулярное этой плоскости. Направление задается при помощи вектора.

2. Любая плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка, так как в декартовой системе координат уравнением плоскости является алгебраическое уравнение первого порядка.

Справедливо также и обратное утверждение: поверхность первого порядка – плоскость.

Доказательство аналогично доказательству для прямой/

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Выведите векторное уравнение плоскости.

2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению.

3. Выведите уравнение плоскости в нормальной форме.

§10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Дано: и .

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Угол между плоскостями и равен углу между их нормальными векторами и :

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

или

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Напишите формулу для вычисления угла между плоскостями.

2. Напишите условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

§11. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Пусть заданы плоскость и точка

Рис. 39.

Требуется вычислить расстояние от точки до плоскости. Задача решается аналогично задаче в плоскости при вычислении расстояния от точки до прямой. Искомое расстояние где точка принадлежит плоскости , вектор - нормальный вектор этой плоскости (рис. 39). В результате вычисления получим

Замечание. Если уравнение плоскости задано в нормальной форме, то

§12. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Общими уравнениями прямой называется система двух уравнений

задающих эту прямую, как линию пересечения двух плоскостей.c

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Рис. 40

Пусть заданы точка и вектор . Требуется определить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору (рис. 40). Точка принадлежит искомой прямой тогда и только тогда, когда или Это уравнение рассматриваемой прямой, где - параметр, - направляющий вектор прямой.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Если в заданной системе координат то и из векторного уравнения прямой следует

Это параметрические уравнения прямой, где

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Записывая в координатной форме условие или исключая параметр из параметрических уравнений, получим канонические уравнения прямой:

Замечание. Направляющим вектором прямой может быть любой вектор, параллельный этой прямой.

ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ К

КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ