Розділ 2. Принципи спеціальної теорії відносності. 2 страница

У §2 ми узагальнили дослідні дані 1) – 4), приведені наприкінці §1, про електричне поле. У даному параграфі ми сформулюємо теоретичне узагальнення дослідних даних 5) – 9) (див. кінець. §1) про магнітне поле, тобто узагальнимо наступні експериментальні факти і закони:

5) факт існування магнітного поля навколо зарядів, що рухаються, (електричних струмів);

6) закон Ампера;

7) Закон Біо – Савара – Лапласа;

8) принцип суперпозиції магнітних полів;

9) факт замкнутості магнітних силових ліній.

Нехай у деякій області простору існує магнітне поле. Помістимо в довільну точку поля так називаний елемент струму , тобто нескінченно малий елемент провідника , по якому протікає електричний струм із силою струму I (напрямок елемента провідника вибираємо так, щоб він збігався з напрямком протікання струму). Силова дія магнітного поля на електричний струм кількісно описується наступним експериментальним законом Ампера (1820р.):

сила , що діє з боку магнітного поля на елемент струму пропорційна векторному добутку на вектор :

СО: (3.1)

де вектор залежить тільки від магнітного поля в точці розміщення елемента струму. Вектор є основною характеристикою магнітного поля і називається вектором магнітної індукції. Вимірюючи , I, по формулі (3.1) можна визначити в будь-якій точці (точніше, у нескінченно малій області) простору. Тому закон (3.1) можна вважати визначенням подібно тому, як співвідношення (2.1) є визначенням напруженості електричного поля. Таким чином, подібно тому, як електричне поле можна вивчати за допомогою пробного заряду, магнітне поле згідно (3.1) можна вивчати за допомогою елемента струму , що у цьому випадку можна назвати пробним струмом.

Механізм зумовлювання породження магнітного поля електричними струмами визначається експериментальним законом Біо – Савара – Лапласа (1820р.):

елемент струму розташований у точці , обумовлює магнітне поле, індукція якого в довільній точці визначається співвідношенням:

СО: (3.2)

де - коефіцієнт, що залежить від вибору системи одиниць СО, а постійна

(3.3)

називається магнітної постійний. Якщо елемент струму розташований на початку координат , то (3.2) приймає вигляд:

(3.2/)

Для розрахунку магнітних полів, що обумовлюються довільним розподілом струмів у просторі необхідно додатково до (3.2) використовувати експериментальний принцип суперпозиції магнітних полів, що для безперервного розподілу струмів записується у вигляді:

(3.4)

де інтегрування ведеться по всій області простору, де відмінна від нуля густина струму;

для системи лінійних провідників із силами струмів , принцип суперпозиції має форму:

(3.4/)

де - індукція, обумовлена i-тим провідником зі струмом Ii у точці спостереження .

Спільне застосування (3.2) і (3.4) дозволяє в принципі розраховувати магнітні поля, обумовлені будь-яким розподілом струмів. Наприклад, для лінійного провідника з постійним струмом I маємо:

. (3.5)

Однак формули типу (3.5) практично зручні тільки для деяких окремих випадків розподілу струмів, що мають досить високу геометричну симетрією, що дає можливість провести інтегрування в явному вигляді (наприклад, прямолінійний провідник зі струмом, круговий струм і т.д.). У довільному ж випадку більш доцільно одержати інші наслідки (3.2) і (3.4).

Для цього введемо поняття нової інтегральної характеристики магнітного поля – поняття циркуляції Ц вектора магнітної індукції вздовж довільного замкнутого контуру L, що визначається формулою:

(3.6)

Поняття циркуляції вектора дозволяє сформулювати для постійного в часі розподілу струмів так названий закон повного струму: циркуляція вектора уздовж довільного замкнутого контуру L пропорційна повній силі струму через довільну поверхню S, що обмежується контуром L:

, (3.7)

де - вектор густиниструму: сила струму I через S дорівнює потоку вектора через S, тобто . Відзначимо що і контур L, і поверхня S у (3.7) - це подумки виділені нами в просторі геометричні об'єкти. Не проводячи докладного доказу (3.7), укажемо тільки схему (послідовність) цього доказу:

1) застосовуючи (3.2) і (3.4), тобто фактично формулу (3.5), обчислюємо для нескінченного прямолінійного провідника з постійним струмом I; одержуємо для результат:

(3.8)

де R – відстань від точки спостереження до провідника;

2) використовуючи (3.8) обчислюємо циркуляцію вектора уздовж довільного контуру L, що охоплює тільки один провідник зі струмом I; одержуємо:

; (3.9)

струм, що не охоплюється контуром L, дає нульовий внесок у циркуляцію уздовж L;

3) За допомогою принципу суперпозиції (3.4/) узагальнюємо (3.9) на систему провідників зі струмами ,…:

, (3...10)

де при підсумовуванні в правій частині (3.10) Ii береться зі знаком "+", якщо напрямок Ii зв'язаний з обраним нами напрямком обходу L при інтегруванні в лівій частині (3.10) правилом правого гвинта; у протилежному випадку Ii береться зі знаком "-";

4) роблячи в (3.10) перехід до безперервного розподілу струмів ( ), приходимо до остаточного результату (3.7).

Приведена схема доказу (3.7) дозволяє зробити наступний висновок: закон повного струму (3.7) є прямим наслідком експериментальних законів

Біо – Савара - Лапласа і принципу суперпозиції, тому він сам є експериментальним законом, що отриманий шляхом аналізу дослідних даних в області магнітостатики, тобто (3.7) справедливий для постійних магнітних полів, обумовлених постійними струмами.

Тепер зробимо важливе теоретичне узагальнення шляхом визнання справедливості наступної гіпотези: будемо вважати, що співвідношення (3.7) між магнітними полями й електричними струмами справедливо і для перемінних струмів. Подальше узагальнення цієї гіпотези ми приведемо в §4.

Вивчення магнітного поля магнітів і струмів показало, що силові лінії магнітного поля (лінії магнітної індукції) завжди замкнуті. Це означає, що скільки силових ліній входить у довільну замкнуту поверхню, стільки ж їх і виходить. Тому ясно, що потік вектора магнітної індукції через довільну замкнуту поверхню дорівнює нулю:

(3.11)

Інтегральне співвідношення (3.11) являє собою математичний запис дослідного факту замкнутості магнітних силових ліній і є аналогом теореми Г - О для електростатичного поля. Співвідношення (3.11) легко переписати в диференціальній формі. Дійсно, застосовуючи до лівої частини (3.11) математичну теорему Г - О (2.19), одержуємо:

,

відкіля в наслідок довільності об'єму V (що є наслідком довільності поверхні S, що охоплює об'єм V) одержуємо:

, (3.12)

тобто запис емпіричного факту про замкнутість ліній у диференціальній формі.

Тепер ми знову робимо теоретичне узагальнення, постулюючи, що (3.11) і (3.12) справедливі не тільки для постійних магнітних полів, але і для довільних змінних полів. Цим постулатом (цією гіпотезою) ми зводимо емпіричні співвідношення (3.11) і (3.12) у ранг теоретичних законів класичної електродинаміки.

Зауваження 1. Факт замкнутості магнітних силових ліній можна еквівалентно сформулювати в інших термінах. Дійсно, якби в Природі існували де-небудь розімкнуті лінії , то вони повинні були б починатися і закінчуватися (за аналогією з лініями ) на магнітних зарядах (магнітних монополях). Іншими словами, гіпотеза незамкнутості ліній еквівалентна гіпотезі існування магнітних монополів. Тоді, позначаючи через rмагн густину магнітних монополів, ми замість (3.12) мали би співвідношення , аналогічне співвідношенню (2.20) для електричних полів. Тому, результат (3.12), який після узагальнення має статус теоретичного закону електродинаміки, можна сформулювати так: у Природі не існує магнітних монополів. Цей постулат підтверджений величезною кількістю досвідів як у макроскопічній області, так і в мікросвіті, тому в цьому курсі рівняння (3.12) ми будемо вважати фундаментальним законом.

 

Зауваження 2. Сказане в зауваженні 1 не означає, що гіпотеза про існування магнітних монополів не має права на існування. Хоча інтенсивні експериментальні пошуки не знайшли дотепер магнітних монополів у величезних просторових масштабах від 10-17 м до 1010 світлового років, це однак не означає, що їх ніде дійсно немає. Магнітні монополі можуть, наприклад, існувати усередині "елементарних" часток (наприклад, у вигляді складових компонентів кварків і лептонів). Теоретичні моделі об'єднання фундаментальних взаємодій у мікросвіті, розроблювальні теоретиками в даний час, дуже часто ведуть до визнання існування магнітних зарядів у дуже малих просторово-тимчасових масштабах. Іншими словами, у даний час не існує вагомих теоретичних аргументів "проти" магнітних монополів. Питання залишається відкритим. Тому деякі теоретики зараз розробляють і класичну електродинаміку з магнітними зарядами. Однак тут важливо відзначити, що якщо навіть у майбутньому магнітні монополі і будуть виявлені, то електродинаміка, що тут викладається без магнітних зарядів не утратить свого важливого значення для величезної (практично важливої) області просторово-тимчасових масштабів.


§4. Узагальнення дослідних даних про взаємозв'язки між електричними і магнітними полями.

 

Узагальнимо тепер дослідні факти і закони 10) і 11), перераховані наприкінці §1.

Експерименти зі змінними магнітними полями (які створювалися за допомогою механічних рухів постійних магнітів) дозволили Фарадею в 1831 році сформулювати наступний експериментальний закон електромагнітної індукції: при всякій зміні магнітного потоку (потоку вектора) Ф через контур замкнутого провідника L в останньому виникає індукційний струм, тобто електрорушійна сила індукції , величина якої пропорційна швидкості зміни Ф:

. (4.1)

Велика заслуга Максвела полягає в глибокому теоретичному осмисленні й узагальненні явища електромагнітної індукції і відповідного цьому явищу емпіричногозакону (4.1). Максвел сформулював наступну сміливу фізичну гіпотезу: змінне в часі магнітне поле обумовлює навколо себе вихрове електричне поле зі замкнутими лініями (можливість існування замкнутих ліній - найбільше припущення Максвела); це вихрове електричне поле і є причиною виникнення в провіднику електрорушійної сили і, отже, індукційного струму (носіями якого є вільні заряди провідника, тобто електрони за сучасними представленнями). Таким чином, відповідно до Максвела, провідник є тільки емпіричним індикатором вихрового електричного поля, тому для одержання з (4.1) теоретичного закону на основі гіпотези Максвела емпіричне співвідношення (4.1) необхідно переформулювати так, щоб "звільнитися" у ньому від речовинного індикатора – провідника струму.

Для цього нагадаємо, що , є завизначенням, робота електричного поля по переміщенню одиничного позитивного заряду уздовж замкнутого провідника:

, (4.2)

тобто в математичному смислі є циркуляція вектора уздовж замкнутого контуру L.

Магнітний потік (потік вектора ) Ф, як відомо з §3, визначається формулою:

, (4.3)

де інтегрування проводиться по поверхні S, обмеженої замкнутим провідником зі струмом (на відміну від (3.11), S тут не замкнута поверхня і Ф 0).

Підставляючи визначення (4.2) (4.3) у (4.1), одержуємо:

(4.1/)

У випадку нерухомого (але довільного за формою) провідника похідну за часом і інтеграл по поверхні (також нерухомої, але довільної за формою) можна поміняти місцями. У результаті замість (4.1/) одержуємо співвідношення:

, (4.4)

яке вже не залежить від параметрів провідника. Тому, відповідно до гіпотези Максвела, L у (4.4) можна вважати не провідником, а довільним, подумки виділеним у просторі, замкнутим контуром, а S – подумки виділеною довільною поверхнею, обмеженою L. Це припущення означає, що (після узагальнення на випадок довільних полів) співвідношення (4.4) тепер являє собою теоретичний закон, відповідно до якого змінне магнітне поле обумовлює вихрове електричне поле.

Диференціальну форму запису (4.4) одержимо, використовуючи теорему Стокса з векторного аналізу: для довільного безперервного векторного поля справедливе співвідношення:

(4.5)

де S є довільна поверхня, обмежена замкнутим контуром L. Застосовуючи (4.5) до лівої частини (4.4), одержуємо:

,

відкіля в силу довільності S маємо:

. (4.6)

Геометрична ілюстрація співвідношень (4.6) і (4.4) за допомогою силових ліній зображена на мал. (4.1), де прямі лінії зображують наростаюче в часі магнітне поле, а замкнуті лінії – це линії вихрового електричного поля, обумовленого магнітним полем.

Надалі ми будемо вважати співвідношення (4.6) і (4.4) справедливими для довільного електромагнітного поля у вакуумі, тобто, що має статус одного з основних законів електродинаміки в диференціальній і інтегральній формах, відповідно.

Проводячи експерименти зі змінними електричними полями досить високої частоти (n 105 Гц, тобто це область радіочастот) можна знайти явище, зворотне (у певному змісті) явищу електромагнітної індукції, а саме наступне: змінне електричне поле обумовлює (створює) вихрове магнітне поле. У цьому можна переконатися вивчаючи, наприклад, магнітне поле між пластинами зарядженого конденсатора, замкнувши їхнім провідником. По провіднику, що з'єднує пластини, пройде короткочасний струм, сила якого буде зменшуватися до нуля, у міру зменшення зарядів пластин. Цей струм не буде замкнутим, тому що між пластинами немає руху зарядів. Однак виявляється, що й усередині конденсатора виникає магнітне поле, що може бути обумовлено тільки змінним (таким, що зменшується по величині) електричним полем конденсатора. Кількісне експериментальне вивчення цього явища в залежності від швидкості зміни електричного (тобто, від ) дозволяє прийти до наступного висновку: змінне електричне поле обумовлює таке магнітне, яке створив би електричний струм із густиною:

(4.7)

а так як електричний струм зв'язаний з обумовленим ним магнітним полем законом (3.7), то сказане означає, що і змінне електричне поле зв'язане з обумовленим ним магнітним полем аналогічним законом, а саме (див. (3.7) і (4.7)):

(4.8)

Застосовуючи до лівої частини (4.8) теорему Стокса (4.5), маємо:

звідкіля в силу довільності S одержуємо запис (4.8) у диференціальній формі:

(4.9)

Геометрична ілюстрація співвідношень (4.9) і (4.8) за допомогою силових ліній зображена на мал. (4.2), де прямі лінії зображують наростаюче в часі електричне поле, а замкнуті лінії – це лінії магнітного поля, обумовленого змінним електричним полем (порівняємо з мал. (4.1)).

 

Малюнки (4.1) і (4.2) наочно ілюструють аналогічно в законах (4.6) і (4.9) взаємозв'язок між електричними і магнітними полями. Саме наявність цього взаємозв'язку (взаємного зумовлювання) і є основою механізму руху (поширення) електромагнітних полів, що не вимагає для себе ніякого речовинного носія.

 

Зауваження 1. Величину , визначену формулою (4.7), називають густиною струму зміщення. Ця назва, уведена Максвелом, виникла тому, що струм зміщення обумовлює магнітне поле по такому ж закону, як і струм провідності; але фізичні процеси, що описуються цими струмами, істотно різні: струм провідності зв'язаний з рухом зарядів, а струм зміщення – зі зміною в часі напруженості електричного поля. Термін "зміщення" Максвел ужив невдало, зв'язуючи його з невірними механістичними уявленням про ефір як носій електромагнітних полів. Незважаючи на сказане, термінологія Максвела повсюдно використовується в сучасній фізичній літературі і змінювати її було би недоцільно.

 

Зауваження 2. З технічних причин у часи Максвела струм зміщення (і закон (4.8) ) не міг бути відкритий експериментально. Тому Максвел міг його тільки постулювати, що він і зробив, виходячи з аналогії з законом електромагнітної індукції і розумінь симетрії між електричним і магнітним полями – у цьому складається його друге найбільше припущення (і заслуга)! Однак у ХХ сторіччі наявність струмів зміщення ми повинні сприймати як добре вивчений емпіричний факт. При цьому і приводяться іноді в навчальній літературі так названі "докази" формули (4.7) методологічно не виправдані (у кращому випадку вони можуть служити тільки "навірними розуміннями" що показують вигляд (4.7)). У дійсному курсі наявність струмів зміщення ми вважаємо емпіричним фактом, а співвідношення (4.8) – експериментальним законом. Надалі, узагальнюючи, ми зводимо (4.8) (і отже, (4.9) ) у ранг теоретичних законів, тобто постулюємо їхню справедливість для довільних електромагнітних полів.

В тому загальному випадку, коли в наявності маються і заряди, що рухаються, і змінне електричне поле, то обумовлене ними магнітне поле описується законом:

, (4.10)

який поєднує результати (3.7) і (4.8). Іноді співвідношення (4.10) називають узагальненим законом повного струму.

Застосовуючи до лівої частини (4.10) теорему Стокса (4.5), маємо:

,

відкіля з урахуванням довільності вибору S випливає запис узагальненого закону повного струму в диференціальній формі:

(4.11)

Ми вважаємо (4.11) теоретичним законом електродинаміки, справедливим для довільних електромагнітних полів.
§5. Основні рівняння електродинаміки вакууму.

 

У §§2-4 ми одержали основні рівняння електродинаміки (рівняння Максвела) для зарядів і струмів у вакуумі як узагальнення експериментальних фактів і законів 1) – 11), перерахованих наприкінці §1. Тут ми ще раз випишемо разом ці рівняння (див. табл. (5.1)) в інтегральній і диференціальній формах із указівкою дослідних даних, що лежать в основі кожного рівняння (використовується система одиниць СО)

 

табл. (5.1)

Дослідні факти, покладені в основу рівняння Інтегральна форма Спосіб перетворення Диференціальна форма №
Закон Біо-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиції. змінне електричне поле обумовлює магнітне Теорема Стокса (5,1)
Закон електромагнітної індукції. Принцип суперпозиції. Теорема Стокса (5,2)
Закон Кулона. Принцип суперпозиції. Теорема Гаусса-Остроградского (5,3)
Замкнутість магнітних силових ліній. Принцип суперпозиції. Теорема Гаусса-Остроградского (5,4)