Обратное преобразование Лапласа имеет вид

f(t) = , (1.3.2)

где j – мнимая единица (j2 = – 1), а интегрирование в (1.3.2) проводится по бесконечно удаленному контуру комплексной плоскости для действительного значения переменной s.

Для практического применения используют таблицы преобразований Лапласа (Web-сайт MCS), полученные на основании выражений (1.3.1) и (1.3.2). Пример показан в таблице 1.3.1.

Переменную s в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования

s º . (1.3.3)

Аналогично можно ввести оператор интегрирования

. (1.3.4)

Продемонстрируем использование преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений (типа 2.1.3) с постоянными коэффициентами. Преобразование Лапласа уравнения (2.1.3) дает в соответствии с таблицей 1.3.1

B[s2Y(s)–sy(0)–dy(0)/dt]+C[sY(s)–y(0)] + DY(s) = X(s). (1.3.5)

Если x(t) = 0 (входной сигнал отсутствует), y(0) = y0 и dy(0)/dt = 0, то

Bs2Y(s) – Bs y0 + CsY(s) – Cy0 + DY(s) = 0. (1.3.6)

 

Таблица 1.3.1

f(t) F(s)
Ступенчатая функция Хевисайда, q (t) 1/s
Импульсная функция Дирака d(t)
tn n!/sn+1
sin(w t) w /(s2 + w2)
cos(w t) s /(s2 + w2)
exp(-at) 1/(s + a)
f(k) (t) = dk f(t)/d tk skF(s)-sk-1f(0)- sk-2f’(0)-…- - sf(k-1)(0)
F(s)/s + (1/s)
exp(-at) sin(w t) w /[(s2 + a2) + w2]
exp(-at) cos(w t) (s + a)/[(s2 + a2) + w2]

Выражая отсюда Y(s), получим образ выходного сигнала

Y(s) = . (1.3.7)

Если полином q(s) = Bs2 + Cs + D, стоящий в знаменателе (1.3.7), приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (или полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома p(s) = (Bs + + C)y0, стоящего в числителе (1.3.7), называют нулями системы. В полюсах функция Y(s) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной s-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.

Полином q(s) можно записать в виде

q(s) = (s – s1) (s – s2), (1.3.8)

где s1 и s2 – корни полинома.

Тогда

Y(s) = . (1.3.9)

Пример 1.3.1. Рассмотрим частный случай, когда D/B = 2, а С/B = 3. Тогда выражение (1.3.9) примет вид

Y(s) = . (1.3.10)

Положение полюсов и нуля этой функции на s-плоскости показано на рис. 1.3.1, где s=s + jw

 
 

 


Рис. 1.3.1

 

В общем случае, разложив (1.3.9) на элементарные дроби, получим

Y(s) = , (1.3.11)

где k1 и k2 – коэффициенты разложения, называемые вычетами.

Теперь применим к (1.3.11) обратное преобразование Лапласа

y(t) = L-1{ }= L-1{ }+L-1{ }.

(1.3.12)

С помощью таблицы 1.3.1 находим решение

y(t) = k1exp(s1 t) + k2 k1exp(s2 t) (1.3.13)

уравнения (2.1.3) в отсутствии входного воздействия, т.е., так называемое, свободное движение системы.

Часто бывает необходимо определить установившееся, или конечное, значение y(t). Теорема о конечном значении гласит, что:

(1.3.14)

где допускается наличие простого полюса Y(s) в начале координат s-плоскости (см. рис. 1.3.1), но не допускается наличие полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости, а также – кратных полюсов в начале координат.

Для примера 1.3.1 =0. Тем самым, свободное движение стремится к конечному значению y(t) = 0.

Передаточные функции линейных систем.

Передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при условии, что все начальные значения равны нулю.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем и однозначно описывает динамическую связь между выходными и входными переменными.

Передаточная функция системы (2.1.3) получается, если в исходном уравнении (1.3.5) все начальные значения положить равными нулю

Bs2Y(s) + CsY(s) + DY(s) = X(s). (1.3.15)

Отсюда находим передаточную функцию

(1.3.16)

Пример 1.3.2. Передаточная функция RC цепи, изображенной на рис. 1.3.2, получается путем записи в операторной форме уравнений Кирхгофа для напряжений

U1(s) = [R +1/Cs] I(s), (1.3.17)

U2(s) = I(s) / Cs.

 
 

 

 


Рис. 1.3.2

Тогда из (1.3.17) следует, что

, (1.3.18)

где t = RC есть постоянная времени цепи.

Пример 1.3.3. Пусть на вход цепи, изображенной на рис. 1.3.1, подано ступенчатое напряжение c амплитудой U0q (t), где q(t) – функция Хевисайда. Как будет изменяться напряжение на выходе цепи?

Так как U1(s) = U0/s (см. таблицу 1.3.1), то согласно (1.3.18)

U2(s) = U1(s) = U0 = U0[ ].

В результате обратного преобразования Лапласа получим

u2(t) = U0 [1– exp(– t/t)]. (1.3.19)

Рассмотрим теперь поведение системы высокого порядка и найдем ее реакцию на входной сигнал после затухания собственного (свободного) движения.

Пример 1.3.4. Пусть дифференциальное уравнение движения системы имеет вид

y(n) + qn-1 y(n-1) +…+q0 y = pn-1 x(n-1) + pn-2 x(n-2) +…+p0 x, (1.3.20)

где y(t) есть реакция системы, а x(t) – возмущающая функция.

Если все начальные значения равны нулю, то вместо дифференциального уравнения (1.3.20) системы запишем его образ по Лапласу

snY(s) + qn-1 sn-1Y(s) +…+ q0 = (1.3.21)

= pn-1 sn-1X(s) + pn-2 sn-2X(s) +…+ p0 X(s).

Тогда реакция системы состоит из свободного движения, определяемого начальными условиями, и вынужденного движения, обусловленного входным возмущением

Y(s) = , (1.3.22)