Решение уравнений методами хорд и касательных

Методы решения нелинейных скалярных уравнений

def Уравнение , - алгебраическое уравнение n-ой степени с n неизвестными. - действительные числа.

Если f(x) – трансцендентная функция (показательная, логарифмическая, тригонометрическая и т.д.), то уравнение называют трансцендентным.

def Корнем уравнения (ноль функции) называют значение переменной , которое обращает уравнение в верное равенство, т.е. .

В большинстве случаев, корни сложного скалярного уравнения точно найти редко удается. Поэтому большое значение имеют способы приближенного нахождения корней и оценка их точности.

Задача нахождения приближенного значения корня уравнения состоит из двух шагов:

1) Локализация (определение) корня, т.е. внутри области определения выделение отрезка, на котором есть единственный корень уравнения.

2) Нахождение приближенного значения корня с заданной точностью.

Способы локализации корней

I. Графический способ локализации корня уравнения .

Пример: .

Графический способ удобен для грубого нахождения корня. Убедиться в том, что на найденном отрезке действительно имеется корень уравнения можно аналитическим способом.

Теорема. Если непрерывная на отрезке функция на концах его имеет противоположные знаки, т.е. , то на интервале она имеет хотя бы один корень. Если же при этом строго монотонная, т.е. не меняет знак на , то на существует единственный корень.

II. Метод дихотомии. САМОСТОЯТЕЛЬНО.

III. Метод половинного деления. САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Решение уравнений методами хорд и касательных

1. Метод хорд.

Пусть дано уравнение , и .

Точки графика и соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох.

Это приближенное значение находится по формуле

где .

Пусть , тогда за новый промежуток изоляции корня можно принять . Соединив точки и , получим в точке пересечения хорды с овью Ох второе приближение , которое вычислим по формуле

и т.д. Последовательность чисел стремится к искомому корню уравнения .

Вычисление приближенных значений корней уравнения ведутся до тех пор, пока не будет достигнута заданная степень точности.

Если - точный корень уравнения , изолированный на отрезке , а - приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:

2. Метод касательных (метод Ньютона).

Пусть дано уравнение , и .

Возьмем на отрезке такое число , при котором имеет тот же знак, что вторая производная , т.е. (в частности, за может быть принят один из концов интервала, в котором выполняется условие).

Проведем в точке касательную к кривой . За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой с осью Ох. Это приближенное значение корня находится по формуле

Применив этот прием вторично в точке , найдем

И т.д. Полученная таким образом последовательность имеет своим пределом искомый корень.

Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного методом Ньютона, может быть использовано неравенство

3. Метод итераций. САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Интерполяция функций

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть дана таблица значений

				…
				…

Требуется составить многочлен степени , который принимал бы заданные значения при соответствующих значениях , т.е. . Иными словами, график этого многочлена должен проходить через заданные n точек .