Примеры практического применения

Коэффициент корреляции рангов и конкордациииспользуются для выявления связей между мнениями группы экспертов.

 

При регулярной оценке двумя экспертами продукции из группы в nизделий им приписывается значение со знаком «+», когда ранг изделия у первого эксперта выше, чем у второго, и «–», когда нет. Если общую сумму всех разностей оценок обозначить через S, то

(4.1)

называется коэффициентом корреляции рангов Кендалла, который равен t = 1 при совпадении всех рангов у двух экспертов и t = –1 — при их противоположности.

Если учитывать только отрицательные оценки, а их сумму обозначить Q, то коэффициент корреляции рангов рассчитывается по формуле:

 

(4.2)

 

Для определения близости мнений двух экспертов широко применяется оценка, использующая d— разность рангов:

 

(4.3)

 

называемая коэффициентом корреляции рангов Спирмена.

Кроме того, используя R, можно определить наличие или отсутствие корреляции.

Так, при n 10,

(4.4)

Оценка приближенно следует t-распределению с (n –2) числом степеней свободы.

Для оценки совпадения мнений m экспертов используют коэффициент конкордации W. Поскольку сумма рангов, выставленных одним экспертом для n изделий равна , то общая сумма рангов , разделив которую на количество изделий получим - ожидаемое значение суммы рангов изделия.

Суммы рангов достигают максимума при полном совпадении оценок экспертов и для различных изделий соответственно равны m, 2m... nm.

Рассмотрим максимальную сумму квадратов разностей:

 

 

(4.5)

 

Однако на практике в мнениях экспертов возникают некоторые расхождения, поэтому, используя фактические суммы рангов изделий S, получаем ожидаемое:

 

(4.6)

 

которое меньше, чем Smax, а их отношение служит для определения степени совпадения мнений экспертов W:

 

(4.7)

Пример 4.1. Пусть требуется рассмотреть 10 изделий, которым присвоены порядковые номера, и двум экспертам A и Bпоручено проранжировать их по убыванию качества (таблица 4.1).

 

Таблица 4.1 - Ранжировки экспертов

Изделия
Эксперт A
Эксперт B
Разность рангов, d	-1	-1				-2		-2
Квадрат разностей рангов, d

 

Решение. Переписываем таблицу так, чтобы данные ранжировки эксперта Aбыли упорядочены по возрастанию (таблица 4.2)

 

Таблица 4.2 - Инверсии в ранжировках

Эксперт A
Эксперт B
Инверсии

 

Подсчитываем последовательно для результатов эксперта B число данных справа, которое меньше 2, 3... 11 соответственно, и строим ряд инверсий: 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0.

Сумма числа инверсий Q= 6 и для n= 10 коэффициент корреляции рангов Кендалла (4.2):

 

Сумма квадратов разностей

поэтому коэффициент корреляции рангов Спирмена (4.3)

 

Коэффициент корреляции рангов Rравен +1, когда мнения двух экспертов совпадают полностью, а когда они взаимно обратны, коэффициент корреляции будет равен –1.

Рассмотрим корреляцию ранжировок, используя tn– 2 распределение и полученный R (4.4):

Вывод. Это значение больше, чем табличное t8(0,01) = 3,355, следовательно, степень близости ранжировок высока.

 

Пример 4.2.Рассмотрим 7 изделий, которые оценивали 5 экспертов (таблица 4.3).

 

Таблица 4.3 - Оценки экспертов

Изделия
Эксперт A
Эксперт B
Эксперт C
Эксперт D
Эксперт E
Сумма рангов, S

 

Так как m = 5, a n = 7, то =20 и Sож = (11 – 20)² + (16 – 20)² + (16 – 20)² +

+ (23 – 20)² + (30 – 20)² + (15 – 20)² + + (29 – 20)² = 328.

Подставляя ожидаемое значение в формулу коэффициента конкордации (4.7), получаем:

Вывод. Значение коэффициента конкордации показывает, что оценки экспертов не случайны, так как W не равен нулю, но до полного совпадения W= l им далеко.

Задание 1.Пусть требуется рассмотреть 10 изделий, которым присвоены порядковые номера, и двум экспертам A и Bпоручено проранжировать их по убыванию качества. Рассчитайте коэффициент корреляции рангов Кендалла, коэффициент корреляции рангов Спирмена и сделайте выводы о полученном результате.

Таблица - Ранжировки экспертов

Изделия
Эксперт A
Эксперт B

Задание 2. Приведены оценки экспертов по 7 изделиям. Рассчитайте коэффициент конкордации и сделайте вывод о полученном результате.

Таблица - Оценки экспертов