Б3. 8. Компактные операторы
Б3. 1,2,3,4,5.
Б3. 6. Операторы в нормированном пространтсве
Б3. 7. Непрерывные и ограниченные операторы
Пусть X,Y – некоторые линейные пространства, множество .
Опр. Если каждому элементу xÎD можно поставить в соответствие определенный элемент yÎY, то говорят, что задан оператор , при этом, множество D – область определения оператора F: D(F).
Опр. Множество называется областью значений оператора F, элемент y называется образом элемента x, элемент x называется прообразом.
Опр. Два оператора и
называются равными, если
и если
.
Опр. Оператор называется взаимнооднозначным, если каждому образу
отвечает единственный прообраз
, при этом
.
Опр. Если - взаимнооднозначный оператор, то
полностью определяет оператор
, для которого
и
.
Опр. Элемент называется пределом оператора
при
, если
.
Опр. Оператор , определенный в окрестности точки
, называется непрерывным в точке
, если
.
Опр. Пусть - оператор с
нормированные пространства. Оператор
называется ограниченным, если он переводит всякое ограниченное множество из
во множество ограниченное в
.
Опр. Оператор с областью определения
и областью значений
называется линейным, если:
1) - линейное многообразие; 2)
.
Опр. Линейный оператор с называется ограниченным, если он ограничен на единичном шаре
, т.е. если ограничена величина
С другой стороны, если
ограничен, то
для которой выполняется:
Теорема: Оператор A ограничен тогда и только тогда, когда выполняется оценка ,
.
Доказательство: При x = 0 справедливость (2) очевидна.
Пусть
. Рассмотрим элемент
,
.
Поэтому, из (1) следует, что , значит,
. Так как норма аддитивна, а оператор А линеен, то получаем:
.
Если верно (2), то тогда в замкнутом шаре
.
Значит, оператор ограничен.
Следствие: Если - ограничен, то он ограничен на любом шаре.
Теорема (Об эквивалентности понятий ограниченности и непрерывности линейного оператора): Пусть ,
- банаховы пространства. Область определения оператора
-
. Для того, чтобы
был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Доказательство: Пусть
непрерывен. Предположим, что
- неограничен. Значит,
будет неограниченно: "n $
с нормой
, такой что
. Введем элемент
.
При этом . А из непрерывности следует, что
Противоречие доказывает теорему.
Пусть
ограничен, значит, выполнено (2) и при
. Т.е. получим, что
непрерывен в точке
и, значит,
- непрерывен на
.
Обратные операторы
Опр. Множество xÎD(A) называется ядром оператора A.
всегда содержит нулевой элемент.
Теорема 1: Оператор A – взаимнооднозначный тогда и только тогда, когда .
Теорема 2: оператор существует и ограничен на
тогда и только тогда, когда для m>0 и "xÎD(A) выполняется равенство
Доказательство:
Пусть
существует и ограничен на
. Это значит, что существует c > 0 "yÎR(A) будет выполняться
(из определения ограниченности). Т.к.
, то получаем формулу (1).
Если выполняется (1), то
, если
. Покажем, что
По теореме 1 существует , который однозначно действует из R(A) в D(A). Если
в (1), получим ограниченность
на R(A).
Опр. Линейный оператор называется непрерывно обратимым, если
, оператор A обратим и
, т.е.
ограничен.
Теорема 3: Оператор A непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A) = Y и для m > 0 и "xÎD(A) выполняется (1).
Теорема 4: Если A – линейный ограниченный оператор, .
- банаховы пространства и оператор A взаимнооднозначный, тогда
ограничен.
Б3. 8. Компактные операторы