Короткі теоретичні відомості
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 1
Частина 1.
ОПРАЦЮВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ПРЯМИХ БАГАТОРАЗОВИХ ВИМІРЮВАНЬ
Мета роботи: вивчити методику опрацювання результатів прямих багаторазових вимірювань; навчитись визначати характеристики похибки результату вимірювання в залежності від кількості вимірювань; вивчити стандартні форми подання результатів вимірювань.
При підготовці до виконання роботи необхідно опрацювати опис цієї роботи та відповідні розділи рекомендованої літератури [1,5], вміти відповідати на такі запитання:
1.Які похибки називають випадковими та які систематичними?
2.Чому виникають невилучені систематичні Похибки?
3.Який результат вимірювання називається виправленим?
4.Яким аксіомам відповідає нормальний закон розподілу випадкових похибок?
Як обчислити середнє квадратичне відхилення (СКВ) групи результатів
вимірювань?
Як обчислити СКВ середнього арифметичного?
Які апроксимації законів розподілу випадкових похибок вам відомі?
Що таке гістограма і як її побудувати?
Що таке довірчий інтервал і довірча імовірність?
10.Як обчислити довірчий інтервал результату при малій та великій кількості вимірювань?
11.У яких формах подають результати вимірювань?
Короткі теоретичні відомості
Багаторазові вимірювання. Вимірювання, при яких значення фізичної величини знаходять безпосередньо з дослідних даних, називаються прямими. Пряме вимірювання може бути одноразовим (вимірювання однієї і тієї ж величини, виконане не більш трьох разів) і багаторазовим, тобто таким, що складається з групи одноразових вимірювань. У нормативно-технічній, виробничій та навчальній літературі замість терміну "багаторазові вимірювання" використовують також терміни "багаторазові спостереження", "багаторазові відліки", які мають той же зміст.
Похибки результатів вимірювань. Результати будь-яких вимірювань завжди містять похибки, в яких можна виділі: й випадкову та систематичну складові.
Випадковою похибкою називають складову похибки, що непрогнозовано змінюється (з'являється) у ряді вимірювань тієї ж величини. Систематичною похибкою називають складову похибки, що залишається сталою, або прогнозовано змінюється у ряді вимірювань тієї ж величини. Оскільки результат вимірювання містить у собі випадкову похибку, він теж є випадковою величиною. Дня зменшення і оцінки впливу випадкової похибки на результат вимірювати застосовують статистичні методи, а для вилучення чи зменшення систематичної похибки - інші, нестатистичні методи.
Властивості випадковим похибок. При оцінюванні випадкових похибок вважають, що вони мають там властивості:
· при достатньо великій кількості вимірювань випадкові похибки рівні за розміром але протилежного знаку зустрічаються однаково часто (аксіома випадковості);
· найчастіше зустрічаються малі похибки, а великі зустрічаються тим рідше, ним вони більші за абсолютним розміром (аксіома розподілу);
· похибки е неперервні випадкові величини;
· похибки обмежені за модулем.
Перші три властивості на практиці не завжди виконуються.
Закони розподілу похибок. Для опису випадкових похибок використовують апроксимації законів їх розподілу - нормальний закон (Гаусса), рівномірний та ін.
Нормальний закон розподілу похибок (і результатів вимірювань) приймають у більшості випадків вимірювань, коли похибки виникають під впливом декількох факторів, жоден з котрих не переважає. Нормально розподілена величина може бути описана двома параметрами: математичним сподіванням та СКВ. При аналізі випадкових похибок їх вважають центрованими, тобто їх математичне сподівання дорівнює нулю.
Рівномірний закон розподілу похибок звичайно приймають, коли відомі лише границі похибки. Наприклад, для абсолютної похибки, яку визначають за класом точності електромеханічного приладу, похибки від тертя в опорах вимірювальних механізмів, похибки дискретності в цифрових приладах.
Довірчий інтервал. При визначенні характеристик похибки результату вимірювання крім точкових характеристик (математичного сподівання та СКВ) застосовують довірчий інтервал, якій дає уяву про точність та надійність оцінки. Довірчим називають інтервал, який з заданою довірчою ймовірністю Р накриває істинне значення оцінюваного параметру. Верхню в, і нижню н, границі довірчого інтервалу для випадкової похибки вважають симетричними і обчислюють за формулою
де g – коефіцієнт, залежний від прийнятої довірчої ймовірності Р та виду закону розподілу похибки; S – СКВ випадкової похибки;
При оцінюванні довірчих границь похибки результату вимірювання у більшості випадків приймають довірчу ймовірність Р=0,95. Якщо вимірювання не можна повторити, то крім того можна визначити границі для довірчої ймовірності Р=0,99.
Гістограма. Щоб віднести закон розподілу випадкових похибок обмеженої кількості вимірювань до певної апроксимації будують так звану гістограму. Для цього по осі абсцис відкладають випадкові похибки окремих вимірювань (або ж їх результати) та розділяють їх на інтервали за розміром. Далі будують прямокутники, основами яких є інтервали, а висотами - кількість похибок (або результатів), що попали у відповідний інтервал, поділену на загальну кількість
вимірювань та ширину даного інтервалу. Вид гістограми допомагає приблизно
визначити вид закону розподілу похибок.
Операції опрацювання результатів вимірювань. При опрацюванні результатів прямих багаторазових вимірювань необхідно виконати такі операції:
1. з усіх результатів вилучити систематичні похибки;
2. обчислити результат багаторазового вимірювання (середнє арифметичне значення);
3. оцінити СКВ результату вимірювання;
4. перевірити наявність надмірних похибок і промахів і, якщо вони існують, то вилучити їх із результатів вимірювань;
5. перевірити гіпотезу про те, що результати вимірювань належать нормальному розподілові, побудувавши гістограмму.
6. обчислити довірчі границі випадкової складової похибки
результату вимірювання;
7. оцінити границі невилучених залишків систематичних похибок;
8. обчислити довірчі границі сумарної похибки результату вимірювання;
9. записати результат вимірювання у стандартизованій формі.
Вилучення систематичних похибок. Якщо всі результат вимірювань містять сталу систематичну похибку, вона при статистичному опрацюванні тому її вилучають окремо. Для виявлення, оцінювання та вилучення систематичних похибок потрібне ретельне вивчення конкретних методик виконання вимірювань. Формули оцінювання систематичної похибки можуть бути одержані з технічної документації на засоби вимірювальної техніки, або виведені при аналізі їх метрологічних характеристик. Визначивши систематичну похибку, її треба відняти від кожного результату групи, одержавши таким чином виправлений результат.
Результат вимірювання. За результат багаторазового вимірювання X звичайно приймають середнє арифметичне із результатів окремих вимірювань, в які введені поправки для вилучення систематичних похибок:
де Хi, n - результати та кількість одноразових вимірювань.
Знайдене середнє арифметичне має меншу випадкову похибку ніж у
вимірювань цієї групи.
Середнє квадратичне відхилення. СКВ ряду вимірювань визначають за формулою:
СКВ результату багаторазових вимірювань, а саме СКВ середнього арифметичного обчислюють за формулою:
.
Звідси видно, що СКВ випадкової похибки середнього арифметичного у порівнянні з СКВ одноразових вимірювань зменшується у 
разів. На цьому ґрунтується принцип підвищення точності вимірювань.
Вилучення надмірних похибок. Із результатів вимірювань необхідно вилучити промахи та надмірні (грубі) похибки. Промахи є наслідком неправильних дій експериментатора або несправності засобів вимірювань. Це може бути помилка під час запису результатів, при неправильному знятті показів приладу. Їх виявляють нестатистичними способами і вилучають із розгляду.
Надмірною називають похибку, яка набагато перевищує очікувану (в даних умовах) похибку. Для виявлення надмірних похибок використовують статистичні критерії, наприклад, критерій Греббса.
Перевірка гіпотези про нормальність закону розподілу результатів багаторазових вимірювань. Для перевірки належності результатів вимірювань до нормального розподілу застосовуються статистичні критерії Пірсона, Колмогорова, Мізеса-Смірнова, складовий критерій, з якими можна ознайомитись з рекомендованої літератури.
Довірчі границі випадкової похибки. Для інтервальної оцінки похибки при відносно невеликій кількості вимірювань ( n<30 ) використовують розподіл Ст'юдента. Довірчі границі випадкової складової похибки результату вимірювання обчислюють за формулою:
де t(q,f) - коефіцієнт Ст'юдента, який залежить від коефіцієнта
значущості q=1 - Р (де Р - довірча ймовірність) і кількості ступенів свободи f=n-1 (табл. 1.1.)
Таблиця 1.1
| Р=1-q | Коефіцієнт Ст'юдента t(q,f) | ||||||||
| 0,95 0,99 | 3,2 5,8 | 2,8 4,6 | 2,6 4,0 | 3,7 | 2,3 3,4 | 2,2 3,2 | 2,1 3,0 | 2,0 2,8 | 2,0 2,6 |
При n > 30 закон розподілу середнього арифметичного близько до нормального, тому можна вважати, що коефіцієнт t(q,f) буде залежний тільки від довірчої ймовірності Р (або від рівня значущості q=1-Р). Тоді використовують значення
t=2.0 при Р=0.95 і t=2.6 при Р=0.99
Границі невилучених залишків систематичніх похибок. Після введення поправок у результати вимірювань залишаються невилучені систематичні похибки (НСП). Вони можуть складатися з невилучених систематичних похибок метода та засобу вимірювань, а також із-за впливаючих величин. Звичайно за границі складової НСП приймають границі допустимих основної та додаткових похибок засобів вимірювань. Якщо складових НСП декілька, то для обчислення довірчих границь НСП приймають допущення про рівномірний розподіл похибки у визначених межах, тоді:
,
де k - коефіцієнт, залежний від довірчої ймовірності Р і кількості m складових НСП; m – кількість складових НСП.
При довірчій ймовірності Р<0,99 коефіцієнт k мало залежить від кількості складових і для нього можна прийняти усередненні значення, а саме k=1,1 при Р=0,95; k=1,4 при Р=0,99.
Довірчі границі сумарної похибки. Випадкову складову похибки і НСП необхідно об’єднати. При цьому враховуються співвідношення між характеристиками систематичної і випадкової складових похибки. Якщо /Ѕ >8, то довірчу границю похибки sum результату вимірювання приймають рівною НСП,
sum =
Якщо /Ѕ <0,8, то довірчу границю похибки результату вимірювання приймають рівною границі випадкової складової:
sum =.
При 0,8</S<8 необхідно враховувати обидві складові похибки:
sum =К(+)
де К – коефіцієнт, залежний від довірчої імовірності.
Звичайно приймають значення К = 0,8 при Р=0,95 і К=0,85 при Р = 0,99.
Подання результату вимірювання. Найбільш поширена повна форма подання результатів вимірювання крім результату містить межі сумарної похибки та довірчу ймовірність
Застосовують також форми з вказанням характеристик систематичної та випадкової складових результату та кількості результатів одиничних вимірювань в групі:
X; SX; n; ,
або
X; SX; n; |н|= |в|= ; Р.
Можливі інші форми, які також обов'язково містять характеристики похибки отриманого результату.
Значення похибки треба округлити до однієї - двох значущих цифр. Числове значення результату вимірювання має закінчуватися цифрою того ж розряду, що й значення похибки.