Лекція 3. Ускладнення математичних об’єктів. Розширення уявлень про функції

Математика має здатність, використовуючи узагальнення, від простих об’єк­тів, пере­хо­­дити до все більш складних. Так здійснюється перехід від елементів до множин, до функ­цій і перетворень об’єктів на базі введених опе­ра­цій. Так утворюються цілі систе­ми, які, в свою чергу, є математичними об’єктами і далі розглядаються їх множини, а потім зно­ву здійснюється перехід до функцій і перетворень вже на множинах цих систем і т.д. Загалом процес породження нових математичних про’єктів шляхом їх ускладнення здається нескінченним.

Як приклад таких систем, що розглядаються як математичні об’єкти, ми в наступному розділі продемонструємо алгебраїчні системи. Там же ми розглянемо введення відображень чи функцій на множинах алгебраїчних систем і познайомимся з морфізмом алгебраїчних сис­тем. В даній лекції ми розглянемо деякі корисні функції, операції над функціями, обернені функції, деякі властивості операцій над функціями.

 

1. Деякі корисні функції й операції над функціями. Розпочнемо з важливої функції слідування Пеано ,для якої множина Р всіх додатних цілих чисел є і областю, і кооб­ла­стю. Кожному цілому додатному числу n вона ставить у відповідність чис­ло n+1: (n)= n+1, : РР- функція з Р в Р. Функцію також можна задати (нескінченним) списком записів:

: 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4, …, n a n+1,… .

Очевидно, образом Im функції : РРє множина (Р) = {2,3,4,…}, яку ми позначимо символом Р₂.

Для довільної множини S тотожна функція 1s: S S відображує будь-який елемент множини Sв себе: 1s(s) = s для всіх sÎS. Наслідком означення є той факт, що тотожні функції різних множин різні.

Визначення. Лівою композицією gf будь-яких двох функцій називається функція, отри­мана в результаті їх застосування в порядку, оберненому написаному. Спочатку засто­со­ву­ється функція f, а потім - функція g за умови, що область функції g співпадає з кообластю функції f. Формально можемо записати: нехай f:S T і g:TU,тоді ліва композиція gf є функція gf: S U, визначена правилом

(gf)(s)=g(f(s)) для всіх sÎ S . (1)

Це спввідношення між трьома функціями f, g і h = gf наглядно зображується такою діаграмою відображень:

Вона ілюструє ту обставину, що ми можемо перейти з множини S в множину U чи безпосередньо, застосовуючи функцію h, чи в два кроки, застосовуючи спочатку функцію f,а потім - функцію g.

Операцію правої композиції f g отримуємо з описаної вище операції лівої композиції перестановкою символів: f g = gf. Нехай, наприклад, _m: R R — операція піднесення до ступеня m, _m (x) = x^m. Подібно показнику ступеня m, символ функції _m можна записати праворуч від аргумента: x^m =x_m. Якщо домовитися писати символи функцій , ,… праворуч від аргументу, то природно записувати їх композицію також в правій формі, тому що тоді виконується правило (x ) = x ( ). Так, в попередньому прикладі x (_{m n}) = (x^m)ⁿ = x^mn = x _mn, отже, _{m n}= _mn. Інтуїтивно перевага правої композиції в тому, що функції пишуться в тому ж порядку, у якому вони виконуються.

Далі для зручності та скорочення запису символ операції лівої композиції іноді будемо пропускати: композиція позначається просто записом символів функцій-аргументів у рядок.

Лема 3. Композиція функцій підкорюється асоціативному закону:

(h g) f = h (g f) = f (g h) = (f g) h

Вважається, що всі записані композиції визначені. Хоча інтуїтивно це очевидно, тому що як h (g f), так і (h g) f отримуються послідовним застосуванням функцій f, g і h саме в такому порядку. Те ж можна сказати стосовно f (g h) і (f g) h.