Прагматика досліджує проблеми цінності висловлювань для адресата в спілкуванні з погляду розв’язання його проблем.

Математика забезпечує лінгвістику і семіотику ефективними засобами визначення й оброблення мов.

2. Алфавіти і мови. Спробуємо дати формальне означення мови. Природно, за озна­чен­ням, розпочати зі знака. Як уже підкреслювалося, мова - знакова система. Сукупність мовних знаків, що називаються далі символами, є алфавітом.

Алфавіт може бути нескінченним, але ми далі в цьому розділі будемо розглядати тільки скінченні алфавіти.

Приклади:

- латинський алфавіт;

- російський алфавіт;

- український алфавіт;

- двійковий алфавіт {0,1}.

Послідовно виписуючи символи, розташовуючи їх один за одним на папері, ми одер­жу­ємо послідовності символів. Приклади послідовностей символів в двійковому алфавіті:

1111111.

Існує низка термінів для цих послідовностей - слово, вираз, рядок, ланцюжок, ре­чен­ня. Ми будемо використовувати термін "слово". Слово, що не містить жодного символу, наз­ве­мо порожнім і будемо позначати e. Далі будемо розглядати алфавіт Е і його символи е₁, е₂,е₃ .… Наприклад, словами будуть:

е₁е₂е₁

е₂е₂е₂е₃

Якщо ми позначимо порожнє слово через , то й інші слова, записані як послідовності символів алфавіту Е, можемо позначати символами іншого алфавіту. Далі за такий алфавіт приймемо грецький алфавіт.

Наприклад, слово е₁е₂е₁ ми могли б позначити , слово е₂е₂е₂е₃ - і так далі.

Означення слова в алфавіті Е:

1) - слово в алфавіті Е;

2) якщо - слово в алфавіті Е, e_i - символ алфавіту Е, те e_i - слово в алфавіті E;

3) - слово в алфавіті Е тоді і тільки тоді, коли воно побудовано за правилами 1) і 2).

Означення відноситься до типу індуктивних означень і дозволяє будувати слова в алфавіті Е.

Нехай - слово. Воно не містить символів, е₁ - символ алфавіту Е. Тоді е₁ -також сло­во. Отже, e₂ - слово, е₃ - слово і т д.; е₁е₂ - слово, тому що отримано приписуванням символу e₁ до слова e₂; e₁e₂e₂ - слово, тому що отримано приписуванням символу e₂ до слова е₁e₂ і т.д. Та­ким чином, слова одержуються приписуванням символу до вже існуючих (побудованих) слів.

Довжиною слова назвемо число символів у ньому. Будемо позначати довжину слова через ||. Наприклад, слово e₁e₂e₁ має довжину 3. За означенням || = 0.

Якщо слова і мають однакову довжину, причому на кожнім кроці їхньої побудови, починаючи зі слова , виконувалося приписування однакового символу, то назвемо їх рів­ними.

Очевидно, що рівність слів - відношення рефлексивне, симетричне, транзитивне, тобто відношення еквівалентності.

Операцію приписування можна узагальнити.

Визначення. Нехай і - слова в алфавіті Е. Назвемо слово , отримане посимволь­ним припи­суванням слова до слова , конкатенацією слів і .

Приклад. Нехай e₁e₂e₂ – слово ; e₂e₂ – слово . Тоді e₁e₂e₂e₂e₂ – слово .

Легко установити, що = = , а також те, що = у загальному випадку невірно, що підтверджується попереднім прикладом:

e₁e₂e₂e₂e₂ e₂e₂e₁e₂e₂.

Визначення. Нехай - слово е_i1e_i2…e_in, довжини n. Тоді слово е_in,е_in-1…е_i1 назвемо обер­танням слова і позначимо ^-1.

Приклад. Нехай e₁e₂e₂ - це слово , тоді e₂e₂e₁ - це слово ^-1.

Легко установити, що ^-1 у загальному випадку.

Розглянемо декілька термінів, що будуть використовуватися пізніше.

Нехай , , - слова в алфавіті Е. Тоді в слові назвемо: - префіксом, а – суфіксом, а в слові , причому чи можуть бути порожніми, назвемо підсловом.

Наприклад, у слові e₁e₂e₂:

e₁, e₁e₂, e₁e₂e₂ - префікси;

e₂, e₂e₂, e₁e₂e₂ - суфікси;

e₂, e₁e₂ - підслова.

Слово є префіксом, суфіксом, і підсловом будь-якого слова.

Назвемо префікс (суфікс) власним префіксом (суфіксом) слова , якщо і - префікс (суфікс) .

Наприклад, для слова e₁e₂e₃ слово е₁ - власний префікс.

Визначення. Назвемо мовою в алфавіті Е будь-яку множину слів в алфавіті Е.

Мови програмування Паскаль, Сі, Бейсік і інші задовольняють цьому означенню, як­що вважати словом програму. Природна мова також задовольняє означенню, якщо вважати сло­вом речення.

Приклад: Нехай Е= {0,1}. Тоді наступні множини слів:

L₁ = {,0,1,01,10};

L₂ = {0,00,000,...};

L₃ = {1,11,111,...};

L₄ = {0,1}

за означенням є мовами. Крім того, за означенням L = {} - також мова. Більш того, Æ - також мова, причому {} і Æ - різні мови. Нехай Е* - множина, що містить усі слова в алфавіті Е, включаючи символи самого алфавіту Е. Тоді будь-яка мова в алфавіті Е є під­мно­жиною Е*.

Приклад. Нехай заданий алфавіт Е = {0,1}. Тоді

Е* ={,0,1,00,1,01,10,000,001,010,100,011,101,110,111,...}.