Указания по выполнению контрольных работ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Программа и контрольные задания

Для студентов инженерно-экономических специальностей
заочной и вечерней форм обучения

Ускоренный курс

СЕМЕСТР 1

Красноярск 2005

Указания по выполнению контрольных работ

Студент должен выполнять один тот же вариант всех контрольных работ. Чтобы определить свой вариант, нужно разделить на 25 число, полученное отсечением двух цифр от номера студенческого билета (шифра), обозначающих год поступления в университет. Остаток от деления и есть номер вашего варианта. Если остаток равен нулю, то номер вашего варианта равен 25. Например, если шифр студента равен 23602, тогда остаток от деления 236 на 25 будет равен 11 и, следовательно, решать нужно вариант №11; если шифр студента равен 57501, тогда остаток от деления 575 на 25 будет равен 0 и, следовательно, решать нужно вариант №25.

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы и дату отсылки ее в университет.

2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради (или на белой бумаге формата А4), авторучкой или распечатанной на принтере с полями не менее 3 см для замечаний рецензента.

3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие задачи (без сокращений).

4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять чертежи с пояснениями и нарисованными аккуратно.

Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без проверки.

Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, ее необходимо в короткий срок либо выполнить заново (целиком), либо решить заново задачи, указанные рецензентом. Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед зачетом или экзаменом.

Программа курса «Высшая математика»

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Матрицы и действия с ними.

1.2. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Кремера.

1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.

1.4. Системы линейных уравнений. Совместимость систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы.

1.5. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.6. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Вычисление ранга матрицы.

1.7. Применение линейной алгебры в экономике. Балансовая модель Леонтьева. Линейная модель торговли.

РАЗДЕЛ 2. Векторная алгебра

2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Линейно независимая система векторов. Размерность и базис векторного пространства. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

2.2. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.

2.3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.

2.4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Координатное выражение скалярного произведения. Угол между векторами. Понятие евклидова пространства.

2.5. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения.

РАЗДЕЛ 3. Элементы аналитической геометрии

3.1. Декартова система координат. Координаты точки. Расстояние между точками. Деление отрезка в заданном отношении.

3.2. Уравнение линии на плоскости. Полярная система координат.

3.3. Уравнения прямой на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

3.4. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

3.5. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их геометрические свойства и уравнения. Полярные координаты на плоскости.

3.6. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

РАЗДЕЛ 4. Введение в математический анализ

4.1 Множество действительных чисел. Понятие функции и область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

4.2 Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве. Существование пределов монотонной ограниченной последовательности.

4.3 Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы.

4.4 Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на бесконечности. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций.

4.5 Точки разрыва и их классификация.

4.6 Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции.

РАЗДЕЛ 5. Дифференциальное исчисление

5.1. Производная функции и ее смысл в различных задачах. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных и правила нахождения производных. Производные высших порядков.

5.2 Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование.

5.3 Дифференциал функции его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Общее представление о методах линеаризации. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков.

5.4. Теоремы о среднем. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

5.5. Правило Лопиталя.

5.6 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

5.7 Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

5.8. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.

5.9. Асимптоты функции. Понятие об асимптотическом разложении.

5.10. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

5.11. Функции одной переменной в экономике. Предельные показатели в макроэкономике. Максимизация прибыли. Оптимизация налогообложения предприятий. Закон убывающей эффективности производства.

5.12. Пространство . Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Предел и непрерывность функции.

5.13. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

5.14. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

5.15. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

5.16. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

5.17. Функции нескольких переменных в задачах экономики. Оптимальное распределение ресурсов. Максимизация прибыли и производства продукции. Оптимизация спроса.

ЛИТЕРАТУРА

1.Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Под ред. Н.Ш. Кремера.–М: ЮНИТИ–М.,1998.

2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т.: Учеб. пособие. Мн: ТетраСистемс, 1998.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М: Высш. шк., 2003.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2. М: Высш. шк., 2003.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2-х т. М: Айрис-пресс, 2002.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Лань, 2001.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. - М.: Высш.школа,1998.

8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2001.

9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2001.

10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2001.

11. Красс М.С., Чупринов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2001.

12. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.:ЮНИТИ–М, 1999.

13.Общий курс высшей математики. Учебник /Под ред. В.И. Ермакова.–М: ИНФРА–М,1999.

14. Солодовников А.С., Байбацев В.А. Математика в экономике. В 2-х ч. М.: Финансы и статистика,2000.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

СЕМЕСТР 1

Вариант 1

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A(1;3;3), B(–1;2;–2), C(0;–1;3), D(2;1;0).

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;–1;1), b = (–1;2;1), c = (1;3;1), d = (–1;–2;3).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в) ,	г)
д)	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [–3;3].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 2

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;4;2), b = (–1;–2;–2), c = (3;5;1), d = (3;5;–1).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а) y =	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x⁴+8x²–9

на отрезке [0;3].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 3

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (5;1;2), c = (–1;–3;–2), d = (8;0;1).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [1;4].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 4

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;0;1), b = (0;–2;1), c = (1;3;0), d = (8;9;4).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x⁴/2+x³–x²+2

на отрезке [–3;1].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 5

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–4;3;2), c = (–1;2;1), d = (1;–1;–1).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [–6;–1].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 6

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (5;4;1), b = (–3;5;2), c = (2;–1;3), d = (7;23;4).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x³–3x²–9x+1

на отрезке [–1;2].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 7

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;1;0), b = (1;0;1), c = (4;2;1), d = (3;1;3).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г) ,
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [1;4].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 8

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (3;–1;2), b = (–2;3;1), c = (4;–5;–3), d = (–3;2;–3).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г) ,
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x–2

на отрезке [0;4].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 9

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;2;3), b = (3;1;2), c = (1;3;1), d = (4;0;1).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г) ,
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [–1;1].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 10

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (–3;1;4), b = (–1;5;4), c = (–1;1;6), d = (0;4;3).

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = (x²–2x)²

на отрезке [0;3].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 11

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [–3;2].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 12

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x⁴–2x²+5

на отрезке [–1;2].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 13

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x³–12x+7

на отрезке [0;3].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 14

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x⁵–(5/3)x³+2

на отрезке [0;2].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 15

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

5. Вычислить пределы:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

6. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
в)	г)
д) ,	е) .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = ( /2)x+cosx

на отрезке [0;p/2].

8. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в)

Вариант 16

1. Перемножить матрицы:

2.Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–3;5;2), c = (2;–1;3), d = (7;23;4).

5. Вычислить пределы: