Тема 6. Эвклидово пространство.
§1. Понятие эвклидова пространства. Неравенство Коши – Буняковского.
Действительное n-мерное линейное пространство называют эвклидовым (и обозначают ), если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам
и
вещественное число, называемое их скалярнымпроизведением (и обозначаемое
·
), и при этом для любых векторов
,
и
и любых действительных чисел выполнены аксиомы:
а – 1. ·
=
·
.
а – 2. ( +
)·
=
·
+
·
.
а – 3. ( ) ·
= (
·
).
а – 4. ·
>0, если
.
Следствия из аксиом.
10. По а –1 и а – 3
.
20. По а - 2 и а – 1 а –1
.
30. По а – 2 и а – 3 10 и 20.
40. Из 10 и
т.е.
Всякий вектор эвклидова пространства имеет длину (норму). У нулевого вектора она равна нулю, у всякого другого положительна. Длина вектора в
обозначается символом
и по определению
, где скалярное произведение
называется скалярным квадратом (и обозначается
). Из определению
следует, что
, т.е. квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату.
Вектор называют нормальным, если его длина равна 1. Замену вектора
сонаправленным с ним нормальным вектором осуществляют умножением вектора
на число
и называют нормированием вектора
, так что
Докажем, что в для любых векторов
и
имеет место неравенство
По а – 4 имеем ( –
)·(
–
) 0 для любого действительного числа . Преобразуем левую часть этого неравенства: (
–
)·(
–
)=
·(
–
)–
·(
–
) = =
·
–
·
–
·
+ +
·
= 2·(
·
) – 2·(
·
) +
·
. Неравенство принимает вид 2·(
·
) – 2 (
·
) +
·
0 и оно верно для любого . А тогда дискриминант квадратного относительно трехчлена не может быть положительным и верно неравенство 4(
·
)2 – 4(
·
)·(
·
) 0 или (
·
)2 (
·
)·(
·
), откуда после извлечения корня получаем
Из доказанного следует, что и т.к. на отрезке [0; ] функция cos j монотонная, то равенство
cos j = (16)
верно только при одном значении j, которое по определению называют угломмежду n-мерными векторами и
.
§2. Ортонормированный базис. Матрица Грама. Скалярное произведение векторов. Процесс ортогонализации.
Векторы и
из
называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Из соотношения (16) следует, что для ортогональности ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы угол между ними был равен
. Нулевой вектор полагают ортогональным любому вектору.
В система векторов называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны, и – нормальной, если все ее векторы нормальны.
Если система векторов ортогональна и ни один из векторов системы не является нулевым, то, нормируя эти векторы, получим так называемую ортонормированнуюсистему векторов.
Если система векторов S( ) = (
) ортонормированная, то для всех k и s от 1 до n имеем
при k s, т. к. векторы
и
ортогональны, и
·
= 1 при k = s, т.к.
В любая ортонормированная система S(
) из n векторов линейно независима, т. е. образует ортонормированный базис. Действительно, умножив на
скалярно обе части равенства
, для любого k от 1 до n получим
и система S(
) линейно независима по определению.
Каким бы ни был базис S( ), всевозможные попарно скалярные произведения базисных векторов – числа
запишем в виде квадратной матрицы:
Матрица Г называется матрицей Грама базисаS( ). В силу коммутативности скалярного умножения верно равенство
и, следовательно, матрица Грама не меняется при транспонировании, т.е. является симметрической.
В некотором произвольном базисе S( ) = (
) вычислим скалярное произведение векторов:
Базис ортонормирован тогда и только тогда, когда его матрица Грама – единичная матрица. Поэтому для ортонормированного базиса в Rn скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
т.е.
.
Из этой формулы следует, что в ортонормированном базисе , угол между векторами
и
находят из соотношения
а условие ортогональностиэтих векторов имеет вид:
Примером ортонормированного базиса в Rn является система ортов , где для всех k и s от 1 до n имеем:
Если произвольный вектор разложен по ортонормированному базису, то, умножив скалярно обе части разложения на
, для каждого k от 1 до n получим число
, называемое проекцией вектора
на направление вектора
.
В существовании ортонормированного базиса можно также убедиться, применив к произвольному базису из Rn так называемый метод ортогонализации.
Задача 0.61. В пространстве R4 векторы = (–1, 0, 2, 1)T,
= (0, –2, 1, 1)T,
= (1, 1, –1, 0)T и
= (2, 1, 0, –1)T образуют базис. С помощью векторов этого базиса построить ортонормированный базис.
Решение. Построим в R4 ортогональный базис . Пусть
.
(1) Полагаем . Действительное число a подберем так, чтобы выполнялось условие
Обе части равенства (1) умножим скалярно на . Получим:
или
0 = 3 +6a, a = – 0,5. И тогда или
(2) Полагаем Числа
и
подберем так, чтобы выполнялись условия
Умножим скалярно обе части равенства (2) сначала на а затем на
а)
б)
Следовательно, или
(3) Полагаем Числа
подберем так, чтобы выполнялись условия
Умножим скалярно обе части равенства (3) отдельно на затем на
затем на
.
а)
б)
в)
Следовательно,
Остается нормировать векторы , разделив каждый на его длину.
Т.к.
и
то векторы
образуют ортонормированный базис.
|

Задача 0.62. Дана матрица перехода от ортонормированного базиса
к базису
. Доказать, что базис
ортонормированный.
Доказательство. Векторы системы имеют вид:
Т.к. detT = 1 0, то векторы линейно независимы и образуют базис. Векторы этого базиса нормальны, т.к.
и попарно ортогональны, т.к.
Следовательно, базис
ортонормированный.