Кинематика вращательного движения
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Кинематика
1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”
Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются способы математического описания движения без выяснения его физических причин.
В механике рассматривается не движение реальных объектов, а их моделей.
Материальная точка -тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело- это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.
Системой отсчета называется тело отсчета вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. С телом отсчета часто связывается система координат.
Траекторией называется линия, по которой материальная точка движется в пространстве.
Все возможные движения твердого тела можно делятся на пять видов: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения являются основными, т.к. остальные виды можно свести к совокупности основных движений.
Поступательное движение твердого тела- это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения и поэтому скорости и ускорения всех точек тела в один и тот же момент времени одинаковы.
При вращательном движениивсе точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.
Существуют три способа описания движения: векторный, координатный и “естественный”. Приведем определения кинематических величин для каждого способа описания.
Определения кинематических величин
Положение и перемещение материальной точки
При векторном способе описания положение материальной точки определяется радиусом-вектором r(t), проведенным от некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета к рассматриваемой точке. При координатном способе описания положение материальной точки определяется ее координатами x(t), y(t), z(t). При естественном способе описания положение точки задается с помощью криволинейной координаты s(t). Для этого на траектории указывается начало координат и положительное направление отсчета координаты s.
Вектор перемещения Dr= r(t+Dt)-r(t).Перемещения по осямкоординат Dx= x(t+Dt) - x(t),Dy= y(t+Dt) - y(t),могут быть как положительными (точка перемещается по оси координат), так и отрицательными (точка перемещается против оси координат). При естественном способе описания рассматривается изменение криволинейной координаты Ds = s(t+Dt) - s(t).
Скорость
Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло: 
. При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости 
, 
, 
. Средней путевой скоростью называется отношение пути s к тому промежутку времени t, за который этот путь пройден: 
.
Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив Dt ® 0, получаем:
,
т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости:
, 
.
Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении 
. При естественном способе описаниямгновенная скорость равна производной от криволинейной координаты по времени:
.
Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
Ускорение
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.
При векторном способе описания среднее ускорение равно отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за который это произошло это изменение:
При координатном способе описания средние значения проекций ускорения определяются следующими выражениями:
, 
.
Чтобы перейти к мгновенным значениям ускорения, следует устремить Dt ® 0.
,
т.е. ускорение равно производной вектора скорости по времени. Аналогичными выражениями определяются проекции вектора ускорения:
, 
.
Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении 
.
Перейдем к естественному способу описания движения. Поскольку скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, с каждым из этих изменений связана составляющая вектора полного ускорения.
Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени:
.
Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна
,
где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории:
Вектор полного ускорения
Его модуль легко найти по теореме Пифагора:
.
Кинематика вращательного движения