Отыскание оригинала по изображению

При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения.

Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал по известному изображению, являющемуся дробно-рациональной функцией , где и – многочлены от p соответственно степени m и n, причем . Если разложение на простейшие множители имеет вид , то, как известно, может быть разложена на сумму элементарных дробей вида . Итак,

(3.1)

Все коэффициенты могут быть найдены по формуле

(3.2)

Вместо этой формулы для определения коэффициентов можно использовать элементарные приемы, применяемые в математическом анализе при интегрировании рациональных дробей. Если все корни многочлена простые, разложение упрощается: ;

, где . (3.3)

После отыскания тем или иным способом разложения на простейшие дроби оригинал находится так:

а) в случае кратных корней знаменателя

; (3.4)

б) в случае простых корней знаменателя

. (3.5)

Пример 1. Найти оригинал , если известно, что .

Решение. У изображения в данном случае все корни знаменателя – действительные и простые. Поэтому лучше всего воспользоваться формулой (3.5). Имеем

.

Корни

Отсюда по формуле (3.5) находим : .

Пример 2. Найти оригинал по его изображению .

Решение. Разложение на простейшие дроби имеет вид

(3.6)

Находим коэффициенты по формуле (3.2)

Аналогично получим . Следовательно, . Отсюда по таблице изображений и теоремам смещения и линейности изображения имеем

Заметим, что коэффициенты разложения (3.6) можно найти и таким способом, который применялся в математическом анализе при интегрировании рациональных дробей.

3.4. Решение дифференциальных уравнений
и систем дифференциальных уравнений
операционным методом

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами

,

правая часть которого является оригиналом. Тогда и решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (то есть решение задачи Коши для данного ЛДУ), тоже будет оригиналом.

Обозначим изображение искомого решения через , то есть . Используя теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности, находим изображение левой части исходного ЛДУ и приравниваем его к . В итоге вместо ЛДУ с начальными условиями получается так называемое изображающее уравнение, которое является линейным алгебраическим уравнением относительно новой неизвестной функции . Решая изображающее уравнение, находим . Определяя затем по оригинал , мы тем самым найдем искомое решение задачи Коши. Аналогично решаются и системы ЛДУ.

Пример 1. Решить ЛДУ , если .

Решение. Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала имеем . Тогда изображающее уравнение таково: . Отсюда . Восстановим теперь оригинал . Разложим вначале дробь на простейшие дроби: . Ищем A, B, C: . Полагая , получаем , то есть ; полагая , получаем , откуда .
Следовательно, .

Решение поставленной задачи Коши найдено.

Пример 2. Решить систему ЛДУ , если .

Решение. Обозначим и найдем изображения левой и правой частей каждого из уравнений системы.

Из последней линейной алгебраической системы уравнений находим неизвестную (например, по формулам Крамера)

.

Разложим на простейшие рациональные дроби: . Для определения чисел A, B, C получаем равенство .

Подставляя в обе части равенства вместо p поочередно числа –1; 3 и 0, имеем . Отсюда Пользуясь таблицей изображений и свойством линейности изображения, найдем оригинал . Итак, , одна из искомых функций найдена. Функцию можно найти аналогично , предварительно определив ее изображение . Но в данном случае можно найти проще, выражая из первого уравнения исходной системы ЛДУ

Задача решена.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3