Необходимое условие существования точки перегиба

Если x0 точка перегиба функции f(x) и данная функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, причем в точке x0 она непрерывна, тоf(x0)=0.

Доказательство.
Предположим, что в точке перегиба x0 вторая производная не равна нулю: f(x0)0. Поскольку она непрерывна при x0, то

существует -окрестность точки x0, в которой вторая производная сохраняет свой знак, т.е.f(x0)<0илиf(x0)<0x(x0,x0+).

В таком случае функция будет либо строго выпукла вверх (при f(x)<0), либо строго выпукла вниз (при f(x)>0). Но тогда точка x0 не является

точкой перегиба. Следовательно, предположение неверно и вторая производная в точке перегиба должна быть равна нулю.

Первое достаточное условие существования точки перегиба

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0, имеет вторую производную f(x0) в некоторой проколотой

-окрестности точки x0 и если вторая производная меняет знак при переходе через точку x0, то x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Пусть, например, вторая производная f(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус.

Следовательно , в левой -окрестности (x0,x0) выполняется

неравенство f(x)>0, а в правой -окрестности (x0,x0+) справедливо неравенство f(x)<0

. В таком случае, согласно достаточным условиям выпуклости, функция f(x) выпукла вниз в левой -окрестности точки x0 и

выпукла вверх в правой -окрестности.
Следовательно, в точке x0 функция меняет направление выпуклости, т.е. c является, по определению,

точкой перегиба.

Второе достаточное условие существования

Точки перегиба

Пусть f(x0)=0, f(x0)0. Тогда точка x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Поскольку f(x0)0, то вторая производная

в точке x0 либо строго возрастает (если f(x0)>0), либо строго убывает (если f(x0)<0).

Так как f(x0)=0, то вторая производная при некотором >0 имеет разные знаки в левой

и правой -окрестности точки x0. Отсюда, на основании предыдущей теоремы, следует что x0 точка перегиба функции f(x).

 

20. Вопрос. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основные свойства неопределённого интеграла. Примеры.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной

Первообразная, основные понятия и определения

Определение

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Последнее равенство можно записать через дифференциалы:

или

 

Функция является первообразной для функции , так как

Первообразная имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.

Теорема

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

для функции первообразной является функция , а, следовательно, и все функции вида также будут первообразными, так как выполняется равенство :

Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции , может быть представлена в виде .

Неопределенный интеграл

Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.