Ортогональная система функций

Функция называется нормальной, если

Яндекс.Директ

Профподготовка учителя математики

bakalavr-magistr.ruЗаочно! Профподготовка для учителя математики 2017! Диплом. Выбирайте!Более 50 курсовВопросы и ответыСтоимостьДиплом

Объявление скрыто.

Поможем с дипломной работой

piterdiplom.ruПомощь в написании дипломной работы от преподавателя ВУЗа.Узнай подробнее!ПсихологияПравоЭкономикаМенеджментАдрес и телефон

Объявление скрыто.

Помощь с дипломнойи ВКРprofistudent.ruПомощь в написании дипломных работ. Антиплагиат от 80%! Доработки 0 руб.

Объявление скрыто.

Две функции называются ортогональными (между собой), если . Система кусочно-непрерывных на отрезке функций

(1)

(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции имеют положительную норму и попарно ортогональны.

Система (1) называется ортогональной и нормальной (ортонормальной) или ортонормированной, если

т. е. она ортогональна и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму.

Любая конечная ортогональная система функций линейно независима в , т. е. из того, что

где - числа, следует, что все . В самом деле, если помножить обе части этого равенства скалярно на , то на основании линейных свойств скалярного произведения получим

и так как , то .

Если - произвольная функция, то число

называется коэффициентом Фурье функции относительно функции , ортогональной системы (1). Ряд

, (2)

порождаемый функцией , называется рядом Фурье функции по ортогональной системе (1).

Если система (1) ортонормальна, то и ряд Фурье функции записывается еще проще:

. (3)

Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа . В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы (1). Переход от них к произвольным ортогональным системам носит технический характер.

Теорема 1. Если система (1) ортонормирована, то для любой функции норма

среди всевозможных систем чисел достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами

т. е. для коэффициентов Фурье функции .

Таким образом,

, (4)

при этом

. (5)

Доказательство. Имеем

При этом очевидно, что последнее соотношение в этой цепи обращается в равенство только в единственном случае, когда при любом . Тем самым мы доказали соотношения (4) и (5).

Из равенства (5), если учесть, что его левая часть есть неотрицательное число, вытекает неравенство

верное при любом . Но тогда, если система (1) состоит из бесконечного числа функций , то ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции сходится и справедливо неравенство

, (6)

называемое неравенством Бесселя.

Очень важен тот случай, когда ортонормированная система (1) такова, что неравенство (6) обращается в равенство (равенство Парсеваля-Стеклова)

(7)

для всех функций .

Чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зададим произвольную функцию и составим для нее ее ряд Фурье

Сумма первых членов этого ряда

называется -й суммой Фурье функции по ортогональной системе (1).

Согласно формуле (5) отклонение от в смысле среднего квадратического (в смысле ) равно

. (8)

Если для функции выполняется равенство Парсеваля (7), то

, (9)

и обратно, из (9) вытекает справедливость равенства Парсеваля (7).

Существует следующая терминология. Ортогональная система (1) называется полной в , если ряд Фурьелюбой функции сходится в смысле среднего квадратического к , т. е. если имеет место свойство (9) для всех .

Мы, таким образом, доказали, что для того чтобы ортонормированная система (1) была полной в , необходимо и достаточно, чтобы для любой функции выполнялось равенство Парсеваля (7).

Примечание. Мы уже отмечали в замечании 1 §4.8, что обозначает пространство функций , интегрируемых в лебеговом смысле на вместе со своими квадратами и что .

Рассмотрим ортонормированную на отрезке систему непрерывных функций

полную в том, смысле, как это мы определили выше. Мы знаем, что если , то для чисел

(10)

выполняется равенство Парсеваля

Это верно и для функций , только интегралы надо понимать в смысле Лебега.

Но имеет место и обратное утверждение: если числа таковы, что ряд

сходится, то в существует функция такая, что числа являются ее коэффициентами Фурье и выполняется соотношение (9).

А в такой функции может и не быть. В этом проявляется несовершенство пространства . В пространстве недостаточно количество функций, для того чтобы это обратное утверждение имело место.

25. Тригонометрической системой функций называется система функций

Это – периодические функции.

Докажем два свойства периодических функций.

1) Если функцияимеет период,то функция имеет период .

Доказательство. .

2) Если функцияимеет период, то .

Доказательство. =

(делаем замену переменных в последнем интеграле )

Доказанные свойства позволяют

1) рассматривать тригонометрическую систему функций на любом отрезке длиной (период равен , ), например на отрезке ,

2) при вычислениях интегралов от функций с периодом, кратным , проводить интегрирование по любому отрезку длиной .

Так как элементы тригонометрической системы функций представляют собой непрерывные функции, то они сами и их квадраты (как произведение непрерывных функций) интегрируемы на отрезке . Поэтому можно рассматривать пространство L² на отрезке и строить ряд Фурье.

Скалярное произведение функций введем так: