Предел переменной величины и последовательности
Если значения переменной величины в процессе её изменения как угодно близко приближаются к некоторому числу
, то говорят, что переменная величина стремится к
или предел переменной величины равен
, обозначают
или
.
Различные переменные величины к своему предельному значению могут стремиться по разному: убывая справа, возрастая слева, колеблясь около своего предельного значения.
Пример. Рассмотрим математический маятник (см. рис. 2.1.15). – угол отклонения маятника от положения равновесия – переменная величина.
Маятник стремится к положению равновесия, это значит, что угол отклонения, изменяясь со временем, колеблется около своего предельного значения, стремясь к нулю, т.е. .
Определение. Пусть
– некоторое значение переменной величины
и
– сколь угодно малое положительное число. Все точки интервала
(кроме самой точки
), удовлетворяющие неравенству
, образуют
– окрестность точки
(см. рис. 2.1.16).
Определение. Пределом переменной величины называется число
, если для любого сколь угодно малого числа
, найдется такое значение переменной величины
, что для всех значений переменной величины, больших
, выполняется неравенство
.
Иначе говоря, если
– предел переменной величины
, то все значения переменной величины
, большие
, попадут в
– окрестность точки
.
Аналогично можно дать определение предела для числовой последовательности (функции где
).
Определение. Число называется пределом последовательности
, если для любого сколь угодно малого числа
найдется такой номер
, что для всех номеров
выполняется неравенство
.
Иначе говоря, если , то все точки
, начиная с
, попадают в полосу, ограниченную прямыми
и
(см. рис. 2.1.17).
Пример. Используя определение предела последовательности, доказать, что .
Решение: ,
По определению, число 2 будет пределом данной последовательности , если для любого
найдется
, такое что для всех
, т. е.
,
т.е. для всех , где
целая часть числа
.
Пусть , тогда
. Таким образом существует
, такое что для всех
. Ч. и т. д.
Значит .
Предел функции
Рассмотрим – функцию одной переменной, определенную в
– окрестности точки
.
Определение. Число называется пределом функции
в точке
(или при
), если для любого наперед заданного сколь угодно малого
, найдется такое число
, что для всех
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
Иначе говоря, если
, то точки графика функции с абсциссами из
– окрестности точки
и соответствующими им ординатами из
окрестности точки
должны лежать в полосе, ограниченной двумя прямыми
и
(см. рис. 2.1.18).
Примеры.
1.Доказать, что .
Решение: , если для любого сколь угодно малого
, найдется такое число
, что для всех
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
, т. е.
, тогда
.
Если , то
и для всех
удовлетворяющих неравенству
, а значит
. Ч. и т. д.
2.Доказать, что если , то
.
Решение: Для любого можно взять любое
, тогда при
,
имеем
. Следовательно,
.
В связи с тем, что для функции одной переменной можно приближаться к по двум направлениям (слева и справа), существуют понятия левостороннего и правостороннегопределов.
Определение. Число называется левосторонним пределом функции
в точке
, если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа
, найдется такое число
, что при
выполняется неравенство
.
Иначе говоря, если слева (оставаясь меньше
), то предел функции
– левосторонний, записывается в виде
.
Определение. Число называется правосторонним пределом функции
в точке
, если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа
, найдется такое число
, что при
выполняется неравенство
.
Иначе говоря, если справа(оставаясь больше
), то предел функции
– правосторонний, записывается в виде
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Имеют место теоремы о существовании предела функции в точке.
Теорема 1. Если существует , то существуют односторонние пределы
,
, которые равны между собой и равны пределу функции в точке
, т. е.
.
Теорема 2(обратная). Если существуют равные межу собой односторонние пределы, т. е. , то существует
.
Если же, , то
не существует.
Пусть функция определена на интервале
.
Определение. Число называется пределом функции
при
, если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа
найдется число
такое, что для всех
, удовлетворяющих условию
выполняется неравенство
.
![]() |
Иначе говоря, если





окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе, ограниченной прямыми
и
(см. рис. 2.1.19).
Если , то пишут
, если
, то пишут
.
Рассмотрим – функцию двух переменных, определенную на некоторой области
.
Определение. Пусть точка и
– некоторое сколь угодно малое положительное число. Совокупность всех точек
, лежащих внутри окружности с центром в точке
и радиусом
(за исключением самой точки
, т.е.
), удовлетворяющих неравенству
, образуют
– окрестность точки
(см. рис. 2.1.20).
Определение. Число
называется пределом функции двух переменных
в точке
, если для любого малого числа
найдется число
, такое, что для всех точек из
– окрестности точки
выполняется неравенство
.
Обобщим понятия предела в точке для функции любого числа переменных.
Рассмотрим функцию переменных
, которая определена в некоторой области
– мерного пространства. Пусть точка
;
– окрестность этой точки будет представлять совокупность точек, расположенных внутри
-мерного шара с центром в точке
и радиусом
, координаты которых удовлетворяют неравенству:
, где
.
Определение. Число называется пределом функции
в точке
, если для любого сколь угодно малого числа
найдется число
, такое, что для всех точек
– окрестности точки
выполняется неравенство
, где
.
Понятия предела в точке для функций одной, двух и большего числа переменных можно получить из последнего определения как частные случаи при ,
,
и т. д.
Анализируя это определение предела функции предела функции в точке , отметим его особенности:
– в определении не рассматривается значение функции в точке , поэтому функция может быть не определена в этой точке, но иметь в ней предел;
– о существовании предела функции в этой точке можно говорить только в том случае, если при приближении к этой точке по различным направлениям значения функции стремится к одному и тому же числу. В частности, для функции
существование предела в точке
равносильно его существованию при стремлении к
по любым направлениям (например, по прямым
, параболам
,
и т.д.), а для функции
можно устремляться к точке
по оси
слева или справа;
– определение предела не дает способов его вычисления, оно дает возможность доказать его существование.
ЛЕКЦИЯ 2.2. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Прогнозируемые результаты обучения:
· Базовые понятия:
– бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства,
– теоремы о пределах,
– признаки существования пределов.
– предел функции в точке,
– односторонние пределы,
– бесконечно малые и бесконечно большие функции,
– эквивалентность,
· Базовые операции:
– распознавание вида неопределенности,
– нахождение предела функции.
· Базовые методы:
– метод раскрытия неопределенности.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, активизирующих познавательную деятельность студентов, с последующим составлением опорных конспектов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.