Производная сложной функции

Функция , где – сложная функция с промежуточным аргументом и одной независимой переменой .

Теорема 1.Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле

.

Доказательство:По условию теоремы

1. , отсюда, на основании теоремы 7 п. 2.2.3

или , (2.3.7)

где при .

2. , поэтому , где при .

Подставляя в (2.3.7), получим: , т.е. , .

В последнем равенстве, перейдя к пределу при , получаем

.

Таким образом, . Ч. и т. д.

Пример. : , где ,

.

Замечание. Если промежуточных аргументов несколько теорема 1 остается в силе. Так, если , и , то

.

Пример. : , и .

Рассмотрим функцию двух переменных , где , . Тогда – сложная функция независимых переменных и .

Теорема 2. Если – дифференцируемая функция и , – дифференцируемые функции независимых переменных и , то производная сложной функции по каждой независимой переменной и равна сумме произведений частных производных этой функции по ее промежуточным переменным и на их производные по соответствующей независимой переменной и .

, (2.3.8)

 

. (2.3.9)

Пример.Дана функция , где и . Найти , .

Решение: Найдем , используя формулу (2.3.8).

Предполагая, что – свободная переменная, а , найдем : .

Предполагая, что – свободная переменная, а , найдем : .

Теперь найдем и : , , тогда .

Найдем , используя формулу (2.3.9). и известны. Теперь найдем и : , , тогда .

Ответ: , .

Теорема 3. Если дифференцируемая функция и , дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

. (2.3.10)

Следствие.Если дифференцируемая функция и – дифференцируемая функция независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

 

. (2.3.11)

 

 

Производная обратной функции

 

Пусть и – взаимно обратные функции.

Теорема 4. Если функция строго монотонна на интервале и имеет производную в произвольной точке , то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, которая вычисляется по формуле

или (2.3.8)

Доказательство: Рассмотрим обратную функцию . Дадим аргументу приращение . Ему соответствует приращение обратной функции. Так как – строго монотонная, то . И поэтому можно записать .

В силу непрерывности обратной функции при (по условию), тогда

.

Значит . Ч. и т.д.

Пример. Найти производные обратнотригонометрических функций и показательной функции.

1. , : ,

.

2. , : ,

.

3. , : ,

.

4. , : ,

.

5. , : ,

.

6. , : ,

.

Таблица производных

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций, поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .

1.	9.
2.	10.
3.	11.
4.	12.
5.	13.
6.	14.
7.	15.
8.	16.